Telo laharana. Ity no zava-drehetra ilainao amin'ny AI mba hiasa

Raha tsy mahatakatra ny hevitry ny tenanao ianao dia tsy mahatakatra ny AI Ary raha nilaza taminao aho fa telo laharana - telo ihany - dia afaka manambara raha ny AI dia miasa na tsy hahomby? Tsy misy fanovana vaovao, tsy misy fanovana vaovao, tsy misy fanovana vaovao. Matetika izay mipetraka ao amin'ny boky fianarana hatramin'ny 1950, miandry ny olona hanelingelina hanamarina izany. Ireo isa telo ireo dia hahazo: Ny Tesla fanahy dia mihazakazaka tsy misy antony. Ny Tesla fanahy dia mihazakazaka tsy misy antony. GPT-4 citing a court case that doesn’t exist: submitted by a lawyer who got sanctioned. GPT-4 mampiseho raharaha tsy misy ao amin'ny fitsarana: nanolotra ny mpisolovava izay nahazo sazy. Ny modely, nianatra nandritra ny telo herinandro, tsara tarehy fahaverezan-tsakafo, nandefa ho an'ny mpamokatra, avy hatrany mihodina eo amin'ny tarehiny. Ny modely, nianatra nandritra ny telo herinandro, tsara tarehy fahaverezan-tsakafo, nandefa ho an'ny mpamokatra, avy hatrany mihodina eo amin'ny tarehiny. Ny antony dia mitovy, isaky ny fotoana tsirairay. Ny isa telo izay tsy fantatry ny rehetra Tsy misy olona milaza aminao momba azy ireo. Tsy ny rafitrao. Tsy ny fianarana. Tsy ny antontan-taratasy, Na ny fanapahan-kevitra dia ho azo antoka na hallucinatory. Na ny farafahakeliny dia tena na tranga. though they predict whether your training will work or blow up in your face though they predict whether your training will work or blow up in your face : Moa ve ny optimizer ny fandaniana solosaina zig-zagging? Ity isan-karazany ity dia mampitaha ny hoe "fehin-javatra" ny fahaverezan'ny tany. Ianao no mandoro 90% ny solosaina mandeha eo amin'ny lafiny, fa tsy ny ambany (ny lalana mankany amin'ny fahadisoana kely indrindra) 1. Ny isan'ny fepetra κ (λ_max / λ_min) Ny k dia midika hoe canyon. Ny isan'ny fepetra κ (λ_max / λ_min) Condition number κ (λ_max / λ_min) Ny k dia midika hoe canyon. : Ny modely dia tena nianatra - na fotsiny ny mamonjy? Vakio bebe kokoa, ary hahita Ny GIF etsy ambany dia mamaritra izany tsara kokoa noho ny andian-dahatsoratra manontolo. 2. Eigenvalue magnitude ε (|λ|_max) Tsara dia tsara Eigenvalue magnitude ε (|λ|_max) Eigenvalue magnitude ε (|λ|_max) 3. Mety ho azo antoka ianao fa ny gradient avy amin'ny rafitra AI dia ampy hanatanteraka ny fampiofanana ny tambajotra vaovao. : Ny isan'ny tena mendrika δ (#λ < 0) Ny gradient dia milaza hoe "tsy vita isika, tsy misy toerana handeha" satria ny tendrombohitra dia lavaka amin'ny lafiny rehetra izay mifantoka. Ny isan'ny tena mendrika δ (#λ 0 Ankoatra izany, dia hahita sary an-tsary ianao izay hanamarina ny fanontaniana izay mety manontany tena ianao amin'izao fotoana izao. Ary na izany aza - mino izany na tsy mino izany - izany Old Math Ny Ny Ity matematika ity dia efa misy hatramin'ny 1950, alohan'ny nanambara ny tambajotra neuronal. 75 taona ny matematika miantso ho any amin'ny fandriampahalemana. Ary mbola - amin'izao fotoana izao, amin'izao fotoana izao, rehefa mamaky izany ianao - tsy ao amin'ny PyTorch. Tsy ao amin'ny TensorFlow. Tsy ao amin'ny JAX. Tsy ao amin'ny Keras. Tsy ao amin'ny fampiofanana ankapobeny, mandoro vola an-tapitrisany. Telo laharana izay hilaza anao ny zava-drehetra. Fidirana ao amin'ny maso mazava. Ny laboratoara AI lehibe indrindra eto amin'izao tontolo izao? Izy ireo no mijery ny fihenan'ny fahaverezana. Mifandray amin'ny tsindry. Ary antsoina hoe engineering. Ny OpenAI dia manadino azy ireo. Ny Google dia mandositra azy ireo. Ny Anthropic dia tsy mahafantatra fa misy azy ireo. Tsy misy olona manamarika. OpenAI ignores them. Google skips them. Anthropic doesn’t even know they exist. Nobody checks. Aza misalasala, fa mandehana mamaky, mbola tsy nahita ny ampahany tsara indrindra. Manontany tena momba ny lafiny miafina ao amin'ny AI ve ianao? Jereo bebe kokoa eto amin'ny pejy Manontany tena momba ny lafiny miafina ao amin'ny AI ve ianao? Jereo bebe kokoa eto amin'ny pejy Ny telo laharana rehetra tsy ampy Noho izany dia efa nihaona tamin'ny κ, ε, ary δ. Ny isa telo izay manambara ny zava-drehetra. Ankehitriny dia manontany tena ianao hoe aiza izy ireo? Tsy ao amin'ny efijery. Tsy ao amin'ny rakitsoratrao. Tsy any amin'ny orinasa trillion-dollar AI. Ireo isa telo ireo dia tsy teorie; izy ireo dia panel diagnostics izay tokony hisy ... fa tsy izany. Instead, here’s what the most popular AI frameworks — PyTorch, TensorFlow, JAX, Keras — actually give you: Ny vidin-javatra dia ✓ Mifandray amin'ny lalana ✓ Ny fampianarana dia ✓ Izany ny fanapahan-kevitra. izany ny tabilao manontolo. Telo laharana - fa tsy ny marina telo. Tsy κ (fotsiny isan-karazany). Tsy ε (fotsiny isan-karazany). Tsy δ (fotsiny isan-karazany). κ κ ε ε δ δ Ary tsy ny rafitra anao ihany. Ny fitaovana anatiny ao amin'ny OpenAI? Ny fotsy fotsy mitovy. Ny rafitra Google? Ny fahasamihafana mitovy. Ny fandaharam-pampianarana an'i Anthropic? Ny fitaovana mitovy tsy misy. Ny indostria manontolo dia mihazakazaka ny fitaovana mitovy. Ny fampiofanana AI amin'izao fotoana izao dia mitovy amin'ny fiaramanidina 747 miaraka amin'ny fandefasana haingam-pandeha, kompas, ary vibes. Ny fampiofanana AI amin'izao fotoana izao dia mitovy amin'ny fiaramanidina 747 miaraka amin'ny fandefasana haingam-pandeha, kompas, ary vibes. Ny fampiofanana AI amin'izao fotoana izao dia mitovy amin'ny fiaramanidina 747 miaraka amin'ny fandefasana haingam-pandeha, kompas, ary vibes. Ny fahaverezana dia mihena. lehibe - midika izany fa ny fahadisoana dia mihena, ny fampiofanana toa tsara. Fa Ny modely dia mahita vahaolana tena izy, na fotsiny amin'ny fametrahana feo sy ny fandravana ny tenany ao amin'ny fasika tsy ho afaka? why Ny eigenvalues dia hilaza aminao. Ny tabilao fanaraha-maso ny rafitra AI tianao dia tsy. Figure 2b makes this obvious: Aiza no avy ireo isa telo ireo? : Izany dia manoratra ny fanapahan-kevitra tanteraka amin'ny toeran'ny fahaverezana. Ny tsirairay, ny tsirairay, ny tsirairay, ny tsirairay. Ny zava-drehetra dia misy. Mitohy ao anatin'ny zavatra antsoina hoe Hessiana izy ireo. the second derivative matrix of your loss function And here’s the absurd part: the Hessian is fully computable. It’s sitting right there, screaming diagnostic data, and nobody’s looking at it. Ary eto ny ampahany mahatalanjona: ny Hessiana dia feno solosaina. Mipetraka eto, mitaraina ny angon-drakitra diagnostika, ary tsy misy olona mijery azy. Indro ny fomba fiasa izany: Jereo ny boaty roa eo afovoan'ny sary. Ny ankavia: Izay hita ao amin'ny PyTorch. Ny fahavoazana dia jereo tsara. Gradient akaikin'ny zero. Ny tahan'ny fampiofanana dia napetraka. Ny hazavana maitso. Ny fiaramanidina. On the right: what Ny , and Fanehoan-kevitra. Ny isan'ny toe-javatra amin'ny alalan'ny tetezamita. Ny fanamafisana avy amin'ny tabilao. Ny singa roa tsy ara-dalàna. Tsy kely indrindra ianao: . 💀 κ ε δ you’re stuck at a saddle point pretending to be done κ ε δ Same numbers. Same moment. Opposite conclusions. Tany amin'ny fotoana mitovy amin'ny fotoana mitovy amin'ny fotoana mitovy. Tany amin'ny fotoana mitovy amin'ny fotoana mitovy amin'ny fotoana mitovy. Ny OpenAI dia tsy mampiasa izany. Ny Google dia tsy mampiasa izany. Tsy misy olona miasa amin'ny GPU cluster an'arivony an'arivony isam-bolana no manamarina ny eigenvalues. Tsy misy olona miasa amin'ny GPU cluster an'arivony an'arivony isam-bolana no manamarina ny eigenvalues. Mijery ny fihenan'ny fahaverezan'izy ireo izy ireo ary nahita marina ianao ... mivavaka! Fa ny Hessiana dia be loatra! Izany no toerana iray avy amin'ny Google mitarika ny tànany. Ny Hessiana dia n×n. Ho an'ny modely miliara-parametra, izany dia miliara ny miliara. Tsy azonao atao ny mandinika izany. Ny Hessiana dia n×n. Ho an'ny modely miliara-parametra, izany dia miliara ny miliara. Tsy azonao atao ny mandinika izany. Correct. And completely irrelevant. You don’t need the full matrix. You never did. A Hungarian physicist named — Taloha raha midika hoe "computer" ny efitrano feno tubes vakio sy ny tsindrin'ny tsindry. Ny fomba fanao dia mampiasa vokatra matrix-vector iterative amin'ny alàlan'ny famokarana ny ankamaroan'ny eigenvalues. Amin'ny ankapobeny maimaim-poana raha oharina amin'ny fandefasana indray mandeha. Cornelius Lanczos figured this out in 1950 O(n) per iteration Cornelius Lanczos figured this out in 1950 Seventy-five years of progress since then? We now have Hutchinson’s trace estimator, stochastic Lanczos quadrature, randomized SVD. You can get spectral density estimates, top-k eigenvalues, condition number bounds — all at negligible computational cost. Ny fitaovana toy Efa nanaporofo izany fa miasa amin'ny habetsahan'ny ImageNet. Ankehitriny. PyHessian PyHessian So why isn’t this in PyTorch? Why isn’t it in TensorFlow? Why isn’t it in JAX? So why isn’t this in PyTorch? Why isn’t it in TensorFlow? Why isn’t it in JAX? Nahoana izany no tsy ao amin'ny PyTorch? Nahoana no tsy ao amin'ny TensorFlow? Nahoana no tsy ao amin'ny JAX? Satria ireo olona izay mahatakatra ny teoria spectra dia ao amin'ny sampan-draharahan'ny matematika, manoratra taratasy tsy misy olona mamaky. Ny olona mamorona rafitra dia manamboatra endri-javatra izay mijery tsara amin'ny fampisehoana. Ary ny olona fampiofanana modely dia be loatra ny babysitting fahaverezan-tsakafo mba hanontany hoe nahoana izy ireo no babysitting fahaverezan-tsakafo. Ny matematika dia misy. Ny injeniera dia misy. Ny faniriana hampifandray azy ireo? Mazava ho azy fa tsy. Seventy-five years. Still waiting… Inona no lazain'izy ireo amin'ny tena izy ireo Aoka isika hanao izany amin'ny fomba mahomby, mazava, ary - indrindra indrindra - maso, mba hahafahanareo mamorona ny fahatsapana ara-matetika tsara. Aoka isika hanao izany amin'ny fomba mahomby, mazava, ary - indrindra indrindra - maso, mba hahafahanareo mamorona ny fahatsapana ara-matetika tsara. Ny lohahevitry ny loza isan-karazany Ny isan'ny toe-javatra κ (kappa) = λ_max / λ_min dia mifehy ny fahasarotana ny olana amin'ny optimization. Here’s what nobody tells you: gradient descent convergence scales as (κ-1)/(κ+1) per iteration. Ity ny zavatra tsy misy olona milaza aminao: gradient descent convergence scales (ny 1 ka hatramin'ny 1) (ny 1 ka hatramin'ny 1) Ao amin'ny iteration Translation: Roughly 100 iterations to cut your error in half. κ = 100? Roughly 10k iterations for the same progress. κ = 10000? Ary κ = 10000 dia mahazatra amin'ny fampiharana. Tsy ara-pananahana. Tsy mahazatra. Talata. Fa inona no mahatonga ny ambony k Tahaka ny ? Ny fahatsapana Imagine rolling a marble down a valley. Nice round bowl? Marble rolls straight to the bottom. Done. Fa avo κ dia midika fa ny tendrombohitrao dia fantson-tsoavaly kely: rindrina mihoatra ny kilometatra, ny tany dia tsy azo jerena. Ny marmorinao dia tsy mihodina. Dia mivoaka avy amin'ny rindrina. Ankavanana. Ankavanana. Ankavanana. Ankavanana. Mandeha amin'ny lafiny, fa tsy amin'ny lafiny. Ity no gradient anao. Manondro ny toerana marina izay milaza ny kalitao: ny lalana lavitra indrindra. Ny olana dia, ny "lalana lavitra indrindra" dia mifantoka amin'ny Aoka tsy ho eo amin'ny vahaolana. canyon walls Ny fahaverezana dia nipetraka amin'ny 0.0847, avy eo 0.0846, avy eo 0.0847 indray? Ianao no manova ny tahan'ny fampianarana. Tsy misy. Ianao no manolotra an-tsakafo ho an'ny andriamanitry ny ML azo antoka. Tsy misy. Those training runs that plateau for hours? Izany dia ambony k. Ny optimizer dia tsy voafafa. Izany dia manao ny zavatra nangatahanao. Ny zavatra nangatahanao dia geometrically mahatalanjona. You’re burning compute fighting geometry your framework refuses to acknowledge exists. The fix? Preconditioning. Methods second-order. Adaptive optimizers izay mihevitra ny fihenjanana. Ny matematika dia misy. Efa tao amin'ny boky fianarana hatramin'ny taona 1960. Na izany aza, tokony ho fantatrao fa ny k dia ny olana. Ny tabilao dia tsy hilaza aminao. Noho izany dia tsy hanontany na oviana na oviana ianao. ary ny kaonty amin'ny solosaina dia mitombo hatrany. Ny sary etsy ambany dia mampiseho marina ny zava-mitranga. Ny fototry ny fanombohana mitovy. Ny tanjona mitovy. Ny lalana iray dia mitaky ~100 iterations. Ny hafa dia mitaky ~10,000 - zigzaging avy amin'ny rindrina while your GPU burns money. Sharp vs. Flat: Ny fivoaran'ny famantarana Now let’s talk about — ny habetsahan'ny tena-vola. ε (epsilon) This number answers the question every ML engineer secretly dreads: Did your model actually learn anything, or did it just memorize the test? This number answers the question every ML engineer secretly dreads: Did your model actually learn anything, or did it just memorize the test? Picture your loss landscape as terrain. A Ny tendrombohitra dia lavitra - afaka mandeha manodidina ianao ary ny haavony dia tsy miova. Izany dia mihetsika amin'ny kiraro - dingana iray diso ary ianao dia mijanona ho any amin'ny lavaka. flat minimum sharp minimum Small ε = flat minimum = good news. Ny angon-drakitra momba ny famokarana dia tsy mitovy amin'ny angon-drakitra momba ny fampiofanana: ny mpampiasa dia manoratra zavatra hafahafa, fiovana ny famaritana, ny fanehoan-kevitra dia miova, ary ny modely dia mihomehy. Nandritra izany fotoana izany, dia nahazo izany aho. Izany no fampiharana. Izany no mahatonga anao handoa. The GIF below shows what this looks like geometrically: Now flip the script. What happens when ε is huge? When your eigenvalues are screaming large numbers? . Training loss looks perfect. Validation is “best run ever.” Well, when ε is large , your model has squeezed itself into a tiny, sharp crevice Rehefa misy ny Ny lehibe Ny lehibe , your model has squeezed itself into a tiny, sharp crevice Avy eo dia tonga ny angon-drakitra tena izy ireo. Tsotra ny teny. Tsotra ny sary. Tsotra ny zavatra rehetra. Ary ny modely dia tsy . perform a bit worse It blows up: Ny fitokisan'ny fitokisan'ny fitokisan'ny fitokisan'ny fitokisana Predictions turn random Ny rafitra fampitandremana-log dia mivoaka amin'ny 2 am. That’s a sharp minimum in action. The walls are so steep that the tiniest shift sends the loss rocketing. Your model wasn’t robust. It was . brittle and faking it The GIF below shows the difference. Same horizontal shift. Wildly different outcomes. Press enter or click to view image in full size Araka ny hitanao, tsy filosofiana izany, fa geometria izay azonao atao. Your model that crushed the benchmark and died in production? It found a sharp minimum. The eigenvalues would have told you… But nobody checked. Sary avy amin'ny Saddle Points: The Silent Killer. Now for - ny tsy fahampian'ny fehezan-dalàna, #(λ < 0). Ity dia tsinontsinona. Ity dia mitovy amin'ny tarehinao. δ (delta) Your gradient hits zero. Your loss curve goes flat. Ny fametrahana ny rindrambaiko dia: ** “converged.” \ Mifototra ianao. But you’re not at an error minimum. You’re at a Ny lanjan'ny ! 💀 Ianao dia ao amin'ny Ny lanjan'ny Ny lanjan'ny Tany amin'ny tendrombohitra iray izay miakatra ny tendrombohitra amin'ny lafiny sasany ary mihena amin'ny lafiny hafa. But you might say: \ No, dear reader. No. It only means you’re balanced on a ridge, not that you’ve reached anything useful. PyTorch dia mampiseho ny gradient zero - tsy midika izany ve fa vita ny fanatsarana? Ohatrinona no mahazatra ny lohateny Saddle? Aoka isika hanao ny matematika. Amin'ny fotoana rehetra manan-danja, azonao atao ny mieritreritra ny tsirairay amin'ny eigenvalue toy ny manana ny mety ho tsara na ratsy. of them positive. The rough probability? One-half raised to the power of your parameter dimension. all Ho an'ny tapitrisa parametra, izany dia 1/2^ (106) Manana vintana tsara kokoa ny handresy amin'ny loteria rehefa voahodidina amin'ny fehin-dranomasina raha misy shark mitsoka ny tongotrao. True minima are statistical miracles. The good news: most saddle points are unstable. SGD’s inherent noise usually kicks you off eventually. Ny vaovao ratsy: "anisan'izay" dia mety ho telo herinandro ny solosaina voavonjy. Ny sabatra degenerate - izay manodidina ny tsy fahampian'ny fe-potoana - dia mamorona sehatra izay mihomehy ny gradient fa tsy miresaka. Ny fahaverezana dia tsy misy toerana. Ianao no nipetraka, fa tsy fantatrao raha nipetraka na tsia. would tell you instantly. One number. Saddle or not. But your framework doesn’t compute it. δ > 0 would tell you instantly. One number. Saddle or not. But your framework doesn’t compute it. δ > 0 Ny GIF etsy ambany dia mampiseho ny fomba fijerin'ity tranga ity: Ny Gradient Flow Time Bomb dia Fantatrao ve fa efa tapitra izahay? dia miteraka ratsy kokoa. Ny tambajotra neuronal anao dia tsy asa iray. Ny tambajotra neuronal dia tambajotran'ny endri-javatra - dingana aorian'ny dingana aorian'ny dingana. Ary ny gradients dia tsy maintsy mandeha mivantana amin'ny alalan'ny tsirairay mandritra ny fampiofanana. Tahaka ny lalao amin'ny telefaonina, afa-tsy ny olona tsirairay dia mety mihomehy be loatra na miantso mafy loatra. Ny sehatra tsirairay dia manana matrice Jacobiana - ny matrice amin'ny derivatives ampahany izay mametraka ny fomba fampitomboana ny famantarana. . The singular values of these Jacobians determine whether your gradients survive the journey or die along the way The singular values of these Jacobians determine whether your gradients survive the journey or die along the way Ny gradient dia ampahibemaso amin'ny lafiny tsirairay. Amin'ny fotoana mahatratra ny lafiny voalohany, dia tsy gradient intsony - izany dia baomba. Mipoaka gradients. Ny lanjanao dia mandeha amin'ny tsy fahampian'ny tsy fahampian'ny. Ny fampiofanana dia mihodina. NaN tanàna. Singular values > 1: The opposite disaster. The gradient gets squashed at each layer. By the time it reaches the early layers, it’s a rounding error. Vanishing gradients. Your early layers stop learning. They’re frozen while the rest of the network pretends to train. Singular values < 1: Goldilocks zone. Gradients flow cleanly from end to end. Every layer learns. This is why orthogonal initialization works. This is why spectral normalization exists. Singular values ≈ 1: Fa eto ny zava-misy: ireo teknika ireo dia hita tamin'ny tranga ary nampiasaina ho toy ny fitaovana fanampiana. Tsy misy olona manara-maso ny spectra Jacobian nandritra ny fampiofanana. Tsy misy olona mijery ny lanjan'ny singa. Ny diagnosis izay hilaza anao: , simply doesn’t exist in any commercial framework. Ny layer 47 dia manakana ny fivoaran'ny gradient Ny layer 47 dia manakana ny fivoaran'ny gradient Ny tambajotra dia mety hivoaka ao anatiny, ary ny tabilao dia tsy mampiseho na inona na inona. Jereo izany ho an'ny tenanao: Ary eto ianao mandeha: Ny Real Dashboard ny rafitra AI tsy misy anao Ity no tabilao izay tokony hampiseho anao ny rafitra AI mahery vaika. Ny fampiofanana matetika amin'ny alàlan'ny fampiofanana dia handrefesana ny fanadihadiana maivana amin'ny sehatry ny fanaraha-maso amin'ny fanaraha-maso sy ny fihetsika amin'izy ireo: Ny isan'ny toe-javatra Hessiana dia mihoatra ny fihenjanana → miova amin'ny fomba mialoha. Ny singa Jacobiana dia miala amin'ny 1 → mampihatra normalization spectra. → you’re at a saddle, perturb to escape. Negative eigenvalues appear Hessian condition number exceeds a threshold Ny singa Jacobiana dia miala amin'ny 1 Ny fiantraikany ratsy dia hita Amin'izao fotoana izao, tsy misy rafitra AI azo aseho amin'ny varotra no manome anao ireo mpaminany manokana fototra ireo. Why Nobody Fixed This Three reasons: Rehefa mamoaka solosaina bebe kokoa amin'ny olana asa, tsy misy olona manontany ny fototra. Izany dia fotoana mahazatra. Scaling lalàna plateau. Rehefa manao izany, ny indostria dia haingana mila matematika izy tsy nanahy ny hianatra. Scaling obscures mathematical sins. Ny olona izay mahatakatra ny teoria spectra dia miasa ao amin'ny fizarana matematika fampiharana mba hamaha olana mifanohitra. Ny olona nanorina rafitra AI dia naka optimization sy statistika. Disciplinary silos. Implementing proper spectral monitoring requires infrastructure nobody wants to build. Everyone would benefit. Nobody wants to pay. Abstraction debt. Ny volavolan-dalàna dia tonga Here’s what’s missing in every production framework: Ny orinasa dia nametraka $ 100 lavitrisa dolara amin'ny fanitarana ny AI. The mathematical foundations remain incomplete. Ny tsy fahampian'ny fampiofanana tsirairay, ny tsy fahampian'ny fampiroboroboana tsirairay, ny modely tsirairay izay niasa tao amin'ny laboratoara ary maty tao amin'ny famokarana - ireo no aretin'ny aretina matematika izay tsy afaka mamaritra ny fitaovanao. Inona no azonao atao amin'izao fotoana izao mba handeha mihoatra noho ireo orinasa AI lehibe ireo? Manomboka amin'ny : for your specific architecture Learn what Hessian eigenvalues mean Manara-maso ny isan'ny toe-javatra mandritra ny fampiofanana - na dia ny fandaharam-potoana madinika aza dia manampy before you ship — PyHessian exists, use it Check for sharpness Manontany ny zava-drehetra amin'ny fatiantoka - mety ho ao amin'ny seza ianao, fa tsy ny kely indrindra Ny matematika dia misy. Efa niandry hatramin'ny 1950. Ny fanontaniana dia raha hianatra izany ianao alohan'ny hampianatra anao ny fomba sarotra ny tsy fahombiazanao manaraka. Curious about the hidden side of AI? Discover more on my page here Curious about the hidden side of AI? Discover more on my page here