비가환적 크레판트 해결의 돌연변이: 수정 모듈의 교환 및 돌연변이

링크 표

• 초록 및 소개
• 수정 모듈의 교환 및 돌연변이
• 준대칭 표현과 GIT 지수
• 주요 결과
• Calabi-Yau 완전 교차로에 적용
• 부록 A. 행렬 분해
• 부록 B. 표기법 목록
• 참고자료

2. 개조 모듈의 교환 및 돌연변이

2.1. 비가환적 크레판트 분해능. 현재 섹션에서는 이 기사에서 연구된 몇 가지 기본 개념의 정의를 상기합니다.

(1) EndR(M)이 (최대) Cohen-Macaulay R 모듈인 경우 반사 R 모듈 M을 수정 모듈이라고 합니다.

(2) M이 수정되고 대수 Λ가 유한 전역 차원을 갖는 경우 재귀 모듈 M은 비가환적 크레판트 분해능(=NCCR) Λ = EndR(M)을 제공한다고 말합니다.

참고 2.4. NCCR의 정의는 [Van3] 또는 [IW1]의 정의와 다릅니다. 그러나 R이 d-sCY인 경우 우리의 정의는 다른 정의와 동일합니다. [Van3, Lemma 4.2] 또는 [IW1, Lemma 2.23]을 참조하세요.

K ∈ addL로부터 유도된 사상 α ◦ (−): Hom(N, K) → Hom(N, M)은 전사입니다. L = N이면 α를 M의 오른쪽(addL)-근사라고 부릅니다. A 오른쪽(L 추가)N - 근사 α: M의 K → M은 내배엽형 ψ ∈ End(K)가 충족되면 최소라고 합니다. α◦ ψ = α는 자기동형이고, K의 직접 피합수 K′가 Ker(α)에 포함되지 않으면 α가 감소한다고 말합니다. 오른쪽 근사치가 최소이면 감소하고, R이 완전한 로컬인 경우에는 그 반대도 유지됩니다.

정의 2.6. R을 일반 d-sCY로 설정하고 M, N, L ∈ ref R을 설정합니다.

보조정리 2.7. 표기법은 위와 동일

(1) L ′ ∈ addL이면 포함이 있음

이는 교환 감소로 제한할 때도 마찬가지입니다.

(2) N′ ∈ N을 더하면 포함이 있음

이는 교환 감소로 제한할 때도 마찬가지입니다.

(3) 또 다른 전체 하위 범주 S' ⊆ ref R의 경우 다음이 포함됩니다.

R이 완전한 로컬이면 교환이 줄어든 경우에도 유사한 포함이 적용됩니다.

증거 . (1), (2)와 (3)의 첫 번째 주장은 명백하다. (3)의 두 번째 주장은 만약 R이 완전한 국소적이라면 두 개의 근사치 α: K → M과 α ′ : K′ → M′은 α ⊕ α ′ : K ⊕ K′인 경우에만 감소된다는 사실로부터 나옵니다. → M ⊕ M'이 감소합니다.

증거 . Hom(N, M ⊕ N)이 Cohen-Macaulay라고 가정하고 정확한 수열을 고려하세요.

0 → F Ker α → FK → FM → 0.

이제 반사 등가성과 함께 이 시퀀스에 펑터 Hom(−, FR)을 적용하면 이중 시퀀스가 증명됩니다.

0 → M* → K* → (Ker α)

정확합니다.

0 → Hom(FM, FN) → Hom(FK, FN) → Hom(F Ker α, FN) → 0

아직 정확하지 않습니다. 원래 시퀀스의 모든 모듈은 반사적이므로 반사적 등가성과 이중성은 동형을 생성합니다.

그리고 시퀀스의 정확성을 암시하는 K와 Ker α에 대한 유사한 동형

0 → Hom(N * , M* ) → Hom(N * , K* ) → Hom(N * ,(Ker α) * ) → 0.

따라서 이중 형태론

K* → (Ker α) *

는 첫 번째 주장을 증명하는 커널 M*과의 올바른 (L **** 추가)N* 근사치입니다. 두 번째 주장도 비슷한 주장에서 나왔습니다.

다음은 수정 모듈의 직접 합계를 교환하면 좋은 상황에서 새로운 수정 모듈이 제공된다는 의미입니다.

보조정리 2.10. M ∈ ref R을 지정합니다. 다음 등가가 유지됩니다.

M ∈ CM R ⇐⇒ M* ∈ CM R

증거. 우리는 R이 지역적이라고 가정할 수 있습니다. M은 반사적이므로 방향(⇒)을 나타내기에 충분하다. R은 Gorenstein이므로 단사 차원은 유한합니다. 따라서 결과는 [BH, 제안 3.3.3 (b)]에 따른 것입니다.

정리 2.11. R을 고렌슈타인 법선 링(Gorenstein Normal Ring)으로 두고 M, N ∈ ref R을 지정합니다. 그러면

증거 . 방향(⇒)을 증명하는 것으로 충분합니다. Hom(M, N) ∈ CM R이라고 가정합니다. 그러면 Lemma 2.10은 Hom(M, N) * ∈ CM R을 의미합니다. 그러나 Lemma [IW1, Lemma 2.9]에 따르면 동형 Hom(M, N) * ∼이 있습니다. = Hom(N, M), 이는 Hom(N, M) ∈ CM R임을 나타냅니다.

m < 0인 경우에 대한 증명도 비슷합니다.

참고 2.13. 오른쪽 근사치는 일반적으로 고유하지 않으므로 오른쪽/왼쪽 돌연변이도 마찬가지입니다. 그러나 오른쪽/왼쪽 돌연변이는 추가 폐쇄[IW1, Lemma 6.2]까지 고유하며, R이 완전 로컬인 경우 최소 돌연변이는 동형까지 고유합니다.

정리 2.14 ([IW1, 명제 6.5, 정리 6.8, 정리 6.10]). M ∈ ref R을 수정 R 모듈이라고 가정합니다.

2.3. 틸팅 번들 및 돌연변이. 이 섹션에서는 대수 스택에 대한 틸팅 번들에 대해 설명합니다. 우리는 대수 스택의 파생 범주에 대한 몇 가지 기본 사실을 회상하는 것부터 시작합니다.