हिल्बर्ट योजनाओं के लिए विस्तार: स्टैक परिप्रेक्ष्य

लिंक की तालिका

• सार और परिचय
• उष्णकटिबंधीय परिप्रेक्ष्य पर पृष्ठभूमि
• विस्तारित निर्माण
• जीआईटी स्थिरता
• स्टैक परिप्रेक्ष्य
• विहित मॉड्यूली स्टैक
• संदर्भ

5. स्टैक परिप्रेक्ष्य

5.1 स्टैक और स्थिरता की स्थिति

इससे पहले कि हम विस्तारित अध:पतन को स्टैक के रूप में वर्णित करें, हम इस समस्या में स्टैक की भूमिका और अनुभाग 5.3 में परिभाषित स्थिरता की स्थितियों पर टिप्पणी करते हैं।

आधार परिवर्तन । हमारा उद्देश्य अच्छे मॉड्यूली स्पेस के रूप में बिंदुओं की हिल्बर्ट योजनाओं के पतन का निर्माण करना है। प्रस्ताव 6.1.2 और 6.1.4 के प्रमाणों में, हम सार्वभौमिक बंदोबस्ती और पृथक्करण को साबित करने के लिए मूल्यात्मक मानदंड का उपयोग करेंगे। हम देखेंगे कि यह तर्क केवल आधार परिवर्तन तक ही सही है, यही कारण है कि हमारे लिए योजनाओं के बजाय स्टैक के साथ काम करना आवश्यक है।

इसलिए, निम्नलिखित अनुभागों में, भागफल स्टैक का अध्ययन करते समय, हम GIT स्थिर स्थिर लोकस के उप-लोकस पर विचार करना चाहेंगे, जिसमें केवल m लंबाई वाली शून्य-आयामी उप-योजनाएँ शामिल हों, जो X[n] के दिए गए फाइबर में सुचारू रूप से समर्थित हों। एक कॉम्पैक्टिफिकेशन का निर्माण करना जिसमें सीमाओं को सुचारू रूप से समर्थित उप-योजनाओं द्वारा दर्शाया जाता है, भविष्य के अनुप्रयोगों के लिए भी उपयोगी होगा क्योंकि यह हमें एक विलक्षण सतह पर m बिंदुओं की हिल्बर्ट योजना की समस्या को चिकने घटकों पर m से कम बिंदुओं की हिल्बर्ट योजनाओं के उत्पादों में तोड़ने की अनुमति देता है।

परिभाषा 5.1.1. हम कहते हैं कि किसी विस्तारित अपघटन X[n] में एक फाइबर का आधार सह-आयाम k होता है यदि इस फाइबर पर ठीक k आधार दिशाएँ लुप्त हो जाती हैं। यह मान n से स्वतंत्र है।

विस्तारित अपघटन को पर्याप्त रूप से बड़ा बनाना। अंत में, यदि हम एक अद्वितीय GIT भागफल का निर्माण करते हैं जिसमें सभी सीमा उपयोजनाएँ सुचारू रूप से समर्थित नहीं होती हैं, तो केवल विलक्षण समर्थन वाली उपयोजनाओं वाले कक्षा बंद होने से दी गई सीमाएँ अपेक्षित आधार सह-आयाम के तंतु में नहीं होंगी। यह एक अंतर्ज्ञान देता है कि हमने जो अपघटन चुना है वह बहुत छोटा है। ऐसा कहा जा रहा है, इस GIT भागफल के बारे में सोचना उपयोगी हो सकता है यदि हम जो करने की कोशिश कर रहे हैं वह केवल विलक्षणताओं को इस तरह से हल करना है जो अंतरिक्ष के कुछ अच्छे गुणों को संरक्षित करता है, उदाहरण के लिए K3 सतहों पर बिंदुओं की हिल्बर्ट योजनाओं के प्रकार III अपघटन के लिए न्यूनतम मॉडल बनाने के संदर्भ में।

5.2 स्टैक के लिए विस्तारित निर्माण

5.3 स्थिरता की स्थितियाँ.

हम टिप्पणी करते हैं कि चूँकि X[n] के तंतुओं का चिकना स्थान G-अपरिवर्तनीय है, इसलिए फ़ंक्शन को इस स्थान तक सीमित करने से G-अपरिवर्तनीयता सुरक्षित रहती है। इसलिए अर्धस्थिर और स्थिर स्थानों को सुचारू रूप से समर्थित उपयोजनाओं के स्थानों तक सीमित करने से G-अपरिवर्तनीय खुली उपयोजनाएँ प्राप्त होती हैं।

हमारे पास निम्नलिखित सम्मिलित हैं:

ली-वू स्थिरता। हम यहाँ [LW15] में प्रयुक्त स्थिरता की अवधारणा को याद करते हैं, ताकि इसकी तुलना GIT स्थिरता से की जा सके और इस मामले के लिए एक उपयुक्त स्थिरता स्थिति का निर्माण किया जा सके।

संशोधित जीआईटी स्थिरता। जैसा कि ऊपर बताया गया है, हम केवल तभी लंबाई m शून्य-आयामी उप-योजनाओं को स्थिर होने देना चाहते हैं, जब उनका समर्थन फाइबर के चिकने स्थान में हो। हालाँकि, GIT स्थिरता की स्थिति को इस स्थान तक सीमित करने से स्थिर उप-योजनाओं का स्थान अब सार्वभौमिक रूप से बंद नहीं रह जाता है। वास्तव में, कोई एकल GIT स्थिति नहीं है जो सभी वांछित लंबाई m शून्य-आयामी उप-योजनाओं को सुचारू रूप से समर्थित उप-योजनाओं के रूप में दर्शा सके। इसलिए हमें एक संशोधित GIT स्थिरता स्थिति को परिभाषित करना चाहिए जो वांछित स्थिर स्थान प्राप्त करने के लिए कई GIT स्थिरता स्थितियों को एक साथ जोड़ती है।