गैर-विनिमेय क्रेपेंट संकल्पों के उत्परिवर्तन: संशोधित मॉड्यूल के आदान-प्रदान और उत्परिवर्तन

लिंक की तालिका

• सार और परिचय
• संशोधित मॉड्यूल का आदान-प्रदान और उत्परिवर्तन
• अर्ध-सममितीय प्रतिनिधित्व और जीआईटी भागफल
• मुख्य परिणाम
• कैलाबी-याउ पूर्ण चौराहों के लिए आवेदन
• परिशिष्ट A. मैट्रिक्स फैक्टराइजेशन
• परिशिष्ट बी. संकेतन की सूची
• संदर्भ

2. संशोधित मॉड्यूल का आदान-प्रदान और उत्परिवर्तन

2.1. गैर-विनिमेय क्रेपेंट संकल्प। वर्तमान अनुभाग इस लेख में अध्ययन की गई कुछ बुनियादी अवधारणाओं की परिभाषा को याद दिलाता है।

(1) एक प्रतिवर्ती R-मॉड्यूल M को संशोधित मॉड्यूल कहा जाता है यदि EndR(M) एक (अधिकतम) कोहेन-मैकाले R-मॉड्यूल है।

(2) हम कहते हैं कि एक रिफ्लेक्सिव मॉड्यूल M एक गैर-विनिमेय क्रेपेंट रिज़ॉल्यूशन (= NCCR) Λ = EndR(M) देता है यदि M संशोधित हो रहा है और बीजगणित Λ का परिमित वैश्विक आयाम है।

टिप्पणी 2.4. ध्यान दें कि NCCR की हमारी परिभाषा [Van3] या [IW1] में दी गई परिभाषा से अलग है। हालाँकि, यदि R d-sCY है, तो हमारी परिभाषा अन्य परिभाषाओं के बराबर है। [Van3, Lemma 4.2] या [IW1, Lemma 2.23] देखें।

K ∈ addL से इस तरह कि प्रेरित रूपवाद α ◦ (-): Hom(N, K) → Hom(N, M) आच्छादित है। यदि L = N, तो हम α को M का दायाँ (addL)-सन्निकटन कहते हैं। M का दायाँ (add L)N - सन्निकटन α: K → M न्यूनतम कहा जाता है यदि कोई एंडोमोर्फिज्म φ ∈ End(K) जो α◦φ = α को संतुष्ट करता है, एक ऑटोमोर्फिज्म है, और हम कहते हैं कि α कम हो जाता है यदि K का कोई भी सीधा योग K′ Ker(α) में समाहित नहीं होता है। ध्यान दें कि यदि दायाँ सन्निकटन न्यूनतम है, तो यह कम हो जाता है, और उस स्थिति में जब R पूर्ण स्थानीय होता है, तो विपरीत भी लागू होता है।

परिभाषा 2.6. मान लीजिए R एक सामान्य d-sCY है, और मान लीजिए M, N, L ∈ ref R है।

लेम्मा 2.7. संकेतन ऊपर के समान है

(1) यदि L ′ ∈ addL, तो समावेशन होता है

जो कम आदान-प्रदान तक सीमित होने पर भी सत्य बना रहता है।

(2) यदि N′ ∈ N जोड़ें, तो समावेशन होता है

जो कम आदान-प्रदान तक सीमित होने पर भी सत्य बना रहता है।

(3) एक अन्य पूर्ण उपश्रेणी S ′ ⊆ ref R के लिए, एक समावेशन है

यदि R पूर्णतः स्थानीय है, तो समान समावेशन कम किए गए एक्सचेंजों के लिए भी लागू होता है।

प्रमाण . (1), (2) और (3) में पहला कथन स्पष्ट है। (3) में दूसरा कथन इस तथ्य से निकलता है कि, यदि R पूर्ण स्थानीय है, तो दो सन्निकटन α: K → M और α ′: K′ → M′ कम हो जाते हैं यदि और केवल यदि α ⊕ α ′: K ⊕ K′ → M ⊕ M′ कम हो जाता है।

प्रमाण . मान लें कि होम(N, M ⊕ N) कोहेन-मैकाले है, और एक सटीक अनुक्रम पर विचार करें

0 → एफ केर α → एफके → एफएम → 0.

अब इस अनुक्रम पर प्रतिवर्ती तुल्यता के साथ फंक्शन Hom(−, FR) को लागू करने से यह सिद्ध होता है कि द्वैत अनुक्रम

0 → M∗ → K∗ → (केर α)

सटीक है.

0 → होम(एफएम, एफएन) → होम(एफके, एफएन) → होम(एफ केर α, एफएन) → 0

सटीक होना बाकी है। चूंकि मूल अनुक्रम में सभी मॉड्यूल रिफ़्लेक्टिव हैं, रिफ़्लेक्टिव तुल्यता और द्वैत एक समरूपता प्रदान करते हैं

और K और Ker α के लिए समान समरूपताएं, जो अनुक्रम की सटीकता को दर्शाती हैं

0 → होम(N ∗ , M ∗ ) → होम(N ∗ , K ∗ ) → होम(N ∗ ,(Ker α) ∗ ) → 0.

इस प्रकार द्वैत रूपवाद

K∗ → (केर α) ∗

कर्नेल M∗ के साथ एक सही (जोड़ L∗ )N∗ - सन्निकटन है, जो पहले दावे को साबित करता है। दूसरा दावा एक समान तर्क से निकलता है।

निम्नलिखित में कहा गया है कि एक संशोधित मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग का आदान-प्रदान अच्छी स्थितियों में एक नया संशोधित मॉड्यूल देता है।

प्रमेयिका 2.10. मान लीजिए M ∈ संदर्भ R. निम्नलिखित तुल्यता मान्य है।

एम ∈ सी.एम.आर ⇐⇒ एम∗ ∈ सी.एम.आर

प्रमाण। हम मान सकते हैं कि R स्थानीय है। चूँकि M प्रतिवर्ती है, इसलिए यह दिशा (⇒) दिखाने के लिए पर्याप्त है। चूँकि R गोरेंस्टीन है, इसलिए इसका इंजेक्टिव आयाम परिमित है। इस प्रकार परिणाम [बीएच, प्रस्ताव 3.3.3 (बी)] से निकलता है।

लेम्मा 2.11. मान लें कि R एक गोरेनस्टीन सामान्य वलय है, और M, N ∈ ref R है। तब

प्रमाण । दिशा (⇒) को साबित करना पर्याप्त है। मान लें कि Hom(M, N) ∈ CM R है। तब Lemma 2.10 का तात्पर्य है कि Hom(M, N) ∗ ∈ CM R है। लेकिन Lemma [IW1, Lemma 2.9] के अनुसार, एक समरूपता Hom(M, N) ∗ ∼= Hom(N, M) है, जो दर्शाता है कि Hom(N, M) ∈ CM R है।

जब m < 0 हो तो उस स्थिति का प्रमाण समान है।

टिप्पणी 2.13. चूँकि दायाँ सन्निकटन सामान्य रूप से अद्वितीय नहीं है, न ही दायाँ/बायाँ उत्परिवर्तन। हालाँकि, दायाँ/बायाँ उत्परिवर्तन योगात्मक बंद होने तक अद्वितीय है [IW1, लेम्मा 6.2], और यदि R पूर्ण स्थानीय है, तो न्यूनतम उत्परिवर्तन समरूपता तक अद्वितीय हैं।

प्रमेय 2.14 ([IW1, प्रस्ताव 6.5, प्रमेय 6.8, प्रमेय 6.10])। मान लीजिए M ∈ ref R एक संशोधित R-मॉड्यूल है।

2.3. टिल्टिंग बंडल और उत्परिवर्तन। यह खंड बीजीय स्टैक पर टिल्टिंग बंडलों पर चर्चा करता है। हम बीजीय स्टैक की व्युत्पन्न श्रेणियों पर कुछ बुनियादी तथ्यों को याद करके शुरू करते हैं।