लेखक: सर्गेई ब्रावी एंड्रयू डब्ल्यू. क्रॉस जे एम. गैंबेटा दिमित्री मास्लोव पैट्रिक राल थियोडोर जे. योडर सारांश भौतिक त्रुटियों का संचय , , वर्तमान क्वांटम कंप्यूटरों में बड़े पैमाने पर एल्गोरिदम के निष्पादन को रोकता है। क्वांटम त्रुटि सुधार तार्किक क्यूबिट्स को अधिक संख्या में भौतिक क्यूबिट्स पर एन्कोड करके एक समाधान का वादा करता है, जैसे कि भौतिक त्रुटियों को स्वीकार्य निष्ठा के साथ वांछित गणना चलाने की अनुमति देने के लिए पर्याप्त रूप से दबा दिया जाता है। क्वांटम त्रुटि सुधार तब व्यावहारिक रूप से संभव हो जाता है जब भौतिक त्रुटि दर एक सीमा मान से नीचे हो जो क्वांटम कोड, सिंड्रोम माप सर्किट और डिकोडिंग एल्गोरिथम के चुनाव पर निर्भर करती है। हम एक एंड-टू-एंड क्वांटम त्रुटि सुधार प्रोटोकॉल प्रस्तुत करते हैं जो कम-घनत्व समता-जाँच कोड के एक परिवार के आधार पर दोष-सहिष्णु मेमोरी को लागू करता है। हमारा दृष्टिकोण मानक सर्किट-आधारित शोर मॉडल के लिए 0.7% की त्रुटि सीमा प्राप्त करता है, जो सतह कोड , , , के बराबर है, जो 20 वर्षों से त्रुटि सीमा के मामले में अग्रणी कोड रहा है। हमारे परिवार में लंबाई- कोड के लिए सिंड्रोम माप चक्र के लिए सहायक क्यूबिट्स और CNOT गेट्स, क्यूबिट आरंभीकरण और मापों वाले डेप्थ-8 सर्किट की आवश्यकता होती है। आवश्यक क्यूबिट कनेक्टिविटी दो एज-डिस्जॉइंट प्लानर सबग्राफ से बनी डिग्री-6 ग्राफ़ है। विशेष रूप से, हम दिखाते हैं कि 12 तार्किक क्यूबिट्स को 288 भौतिक क्यूबिट्स का उपयोग करके लगभग 1 मिलियन सिंड्रोम चक्रों के लिए संरक्षित किया जा सकता है, यह मानते हुए कि भौतिक त्रुटि दर 0.1% है, जबकि सतह कोड को उक्त प्रदर्शन प्राप्त करने के लिए लगभग 3,000 भौतिक क्यूबिट्स की आवश्यकता होगी। हमारे निष्कर्ष कम-ओवरहेड दोष-सहिष्णु क्वांटम मेमोरी के प्रदर्शन को निकट-अवधि क्वांटम प्रोसेसर की पहुंच के भीतर लाते हैं। 1 2 3 4 k n 5 6 7 8 9 10 n n मुख्य क्वांटम कंप्यूटिंग ने सर्वोत्तम ज्ञात शास्त्रीय एल्गोरिदम की तुलना में कम्प्यूटेशनल समस्याओं के एक सेट के लिए तेज़ी से समाधान प्रदान करने की अपनी क्षमता के कारण ध्यान आकर्षित किया है। यह माना जाता है कि एक कार्यशील स्केलेबल क्वांटम कंप्यूटर वैज्ञानिक खोज, सामग्री अनुसंधान, रसायन विज्ञान और दवा डिजाइन जैसे क्षेत्रों में कम्प्यूटेशनल समस्याओं को हल करने में मदद कर सकता है, कुछ नाम हैं , , , . 5 11 12 13 14 क्वांटम कंप्यूटर बनाने में मुख्य बाधा क्वांटम सूचना की नाजुकता है, जो इसे प्रभावित करने वाले विभिन्न प्रकार के शोर के कारण है। जैसा कि बाहरी प्रभावों से क्वांटम कंप्यूटर को अलग करना और इसे एक वांछित गणना को प्रेरित करने के लिए नियंत्रित करना एक दूसरे के साथ संघर्ष करता है, शोर अपरिहार्य लगता है। शोर के स्रोतों में क्यूबिट्स में खामियां, उपयोग की जाने वाली सामग्री, नियंत्रित उपकरण, स्थिति की तैयारी और माप त्रुटियां और स्थानीय मानव-निर्मित, जैसे कि भटकाव विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र, से लेकर ब्रह्मांड में अंतर्निहित, जैसे कि ब्रह्मांडीय किरणें, तक शामिल हैं। सारांश के लिए संदर्भ देखें । जबकि शोर के कुछ स्रोतों को बेहतर नियंत्रण , सामग्री और परिरक्षण , , के साथ समाप्त किया जा सकता है, कई अन्य स्रोतों को हटाना मुश्किल या असंभव प्रतीत होता है। अंतिम प्रकार में फंसे आयनों में सहज और उत्तेजित उत्सर्जन शामिल हो सकता है , , और सुपरकंडक्टिंग सर्किट में स्नान (पर्सेल प्रभाव) के साथ बातचीत - दोनों प्रमुख क्वांटम प्रौद्योगिकियों को कवर करते हुए। इस प्रकार, त्रुटि सुधार एक कार्यशील स्केलेबल क्वांटम कंप्यूटर बनाने के लिए एक महत्वपूर्ण आवश्यकता बन जाता है। 15 16 17 18 19 20 1 2 3 क्वांटम दोष सहनशीलता की संभावना अच्छी तरह से स्थापित है । कई भौतिक क्यूबिट्स में तार्किक क्यूबिट को अनावश्यक रूप से एन्कोड करने से पुनरावर्ती रूप से समता-जाँच ऑपरेटरों के सिंड्रोम को मापकर त्रुटियों का निदान और सुधार करना संभव हो जाता है। हालाँकि, त्रुटि सुधार केवल तभी फायदेमंद होता है जब हार्डवेयर त्रुटि दर एक निश्चित सीमा मान से नीचे हो जो एक विशेष त्रुटि सुधार प्रोटोकॉल पर निर्भर करती है। क्वांटम त्रुटि सुधार के लिए पहले प्रस्ताव, जैसे कि मिश्रित कोड , , , त्रुटि दमन की सैद्धांतिक संभावना को प्रदर्शित करने पर केंद्रित थे। जैसे-जैसे क्वांटम त्रुटि सुधार और क्वांटम प्रौद्योगिकियों की क्षमताओं की समझ परिपक्व हुई, ध्यान व्यावहारिक क्वांटम त्रुटि सुधार प्रोटोकॉल खोजने पर स्थानांतरित हो गया। इसके परिणामस्वरूप सतह कोड , , , का विकास हुआ, जो लगभग 1% की उच्च त्रुटि सीमा, तेज डिकोडिंग एल्गोरिदम और दो-आयामी (2D) वर्ग जाली क्यूबिट कनेक्टिविटी पर निर्भर मौजूदा क्वांटम प्रोसेसर के साथ संगतता प्रदान करता है। एकल तार्किक क्यूबिट वाले सतह कोड के छोटे उदाहरणों को पहले ही कई समूहों द्वारा प्रयोगात्मक रूप से प्रदर्शित किया जा चुका है , , , , । हालाँकि, इसकी खराब एन्कोडिंग दक्षता के कारण सतह कोड को 100 या अधिक तार्किक क्यूबिट्स तक स्केल करना निषेधात्मक रूप से महंगा होगा। इसने अधिक सामान्य क्वांटम कोडों में रुचि जगाई है जिन्हें कम-घनत्व समता-जाँच (LDPC) कोड कहा जाता है। LDPC कोड के अध्ययन में हालिया प्रगति से पता चलता है कि वे बहुत अधिक एन्कोडिंग दक्षता के साथ क्वांटम दोष सहनशीलता प्राप्त कर सकते हैं । यहाँ, हम LDPC कोड के अध्ययन पर ध्यान केंद्रित करते हैं, क्योंकि हमारा लक्ष्य क्वांटम त्रुटि सुधार कोड और प्रोटोकॉल खोजना है जो कुशल और व्यावहारिक रूप से प्रदर्शित करने योग्य दोनों हों, क्वांटम कंप्यूटिंग प्रौद्योगिकियों की सीमाओं को देखते हुए। 4 21 22 23 7 8 9 10 24 25 26 27 28 6 29 एक क्वांटम त्रुटि सुधार कोड LDPC प्रकार का होता है यदि कोड का प्रत्येक जाँच ऑपरेटर केवल कुछ क्यूबिट्स पर कार्य करता है और प्रत्येक क्यूबिट केवल कुछ जाँचों में भाग लेता है। हाल ही में LDPC कोड के कई संस्करण प्रस्तावित किए गए हैं जिनमें हाइपरबोलिक सतह कोड , , , हाइपरग्राफ उत्पाद , संतुलित उत्पाद कोड , परिमित समूहों पर आधारित दो-ब्लॉक कोड , , , और क्वांटम टैनर कोड , । बाद वाले को , में "अच्छा" होने के रूप में दिखाया गया था, जिसका अर्थ है कि यह एक स्थिर एन्कोडिंग दर और रैखिक दूरी प्रदान करता है: त्रुटियों की संख्या को ठीक करने योग्य मात्रा। इसके विपरीत, सतह कोड में एक एसिम्प्टोटिक रूप से शून्य एन्कोडिंग दर और केवल वर्ग-मूल दूरी होती है। सतह कोड को उच्च-दर, उच्च-दूरी वाले LDPC कोड से बदलने से महत्वपूर्ण व्यावहारिक प्रभाव पड़ सकते हैं। पहला, दोष-सहिष्णुता ओवरहेड (भौतिक और तार्किक क्यूबिट्स के बीच का अनुपात) काफी कम किया जा सकता है। दूसरा, उच्च-दूरी वाले कोड तार्किक त्रुटि दर में बहुत तेज कमी दिखाते हैं: जैसे ही भौतिक त्रुटि संभावना सीमा मान को पार करती है, कोड द्वारा प्राप्त त्रुटि दमन की मात्रा भौतिक त्रुटि दर में छोटी कमी के साथ भी परिमाण के आदेशों से बढ़ सकती है। यह सुविधा उच्च-दूरी वाले LDPC कोड को निकट-अवधि प्रदर्शनों के लिए आकर्षक बनाती है जो संभवतः निकट-सीमा व्यवस्था में संचालित होंगे। हालाँकि, पहले यह माना जाता था कि यथार्थवादी शोर मॉडल जैसे मेमोरी, गेट और स्थिति की तैयारी और माप त्रुटियों के लिए सतह कोड को बेहतर बनाने के लिए 10,000 से अधिक भौतिक क्यूबिट्स के साथ बहुत बड़े LDPC कोड की आवश्यकता हो सकती है। 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 39 40 31 यहाँ हम कुछ सौ भौतिक क्यूबिट्स के साथ उच्च-दर LDPC कोड के कई ठोस उदाहरण प्रस्तुत करते हैं, जो कम-गहराई वाले सिंड्रोम माप सर्किट, एक कुशल डिकोडिंग एल्गोरिथम और व्यक्तिगत तार्किक क्यूबिट्स को संबोधित करने के लिए एक दोष-सहिष्णु प्रोटोकॉल से लैस हैं। ये कोड 0.7% के करीब एक त्रुटि सीमा दिखाते हैं, निकट-सीमा व्यवस्था में उत्कृष्ट प्रदर्शन दिखाते हैं और सतह कोड की तुलना में एन्कोडिंग ओवरहेड में 10 गुना कमी प्रदान करते हैं। हमारे त्रुटि सुधार प्रोटोकॉल को महसूस करने के लिए हार्डवेयर की आवश्यकताएं अपेक्षाकृत हल्की हैं, क्योंकि प्रत्येक भौतिक क्यूबिट केवल छह अन्य क्यूबिट्स के साथ दो-क्यूबिट गेट्स द्वारा जोड़ा जाता है। यद्यपि क्यूबिट कनेक्टिविटी ग्राफ़ 2D ग्रिड में स्थानीय रूप से एम्बेड करने योग्य नहीं है, इसे दो प्लेनर डिग्री-3 सबग्राफ में विघटित किया जा सकता है। जैसा कि हम नीचे तर्क देते हैं, ऐसी क्यूबिट कनेक्टिविटी सुपरकंडक्टिंग क्यूबिट्स पर आधारित आर्किटेक्चर के लिए अच्छी तरह से अनुकूल है। हमारे कोड मैकेय एट अल द्वारा प्रस्तावित बाइसाइकिल कोड का एक सामान्यीकरण हैं और संदर्भों में गहराई से अध्ययन किया गया है। , , । हमने अपने कोड को बाइवेरिएट बाइसाइकिल (बीबी) नाम दिया है क्योंकि वे बाइवेरिएट बहुपद पर आधारित हैं, जैसा कि में विस्तृत है। ये Calderbank–Shor–Steane (CSS) प्रकार , के स्टेबलाइज़र कोड हैं जिन्हें पाउली और से बने छह-क्यूबिट चेक (स्टेबलाइज़र) ऑपरेटरों के संग्रह द्वारा वर्णित किया जा सकता है। उच्च स्तर पर, एक बीबी कोड दो-आयामी टोरिक कोड के समान है। विशेष रूप से, एक बीबी कोड के भौतिक क्यूबिट्स को आवधिक सीमा शर्तों के साथ एक दो-आयामी ग्रिड पर रखा जा सकता है ताकि सभी चेक ऑपरेटर ग्रिड के क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर शिफ्ट को लागू करके एकल जोड़ी और जाँचों से प्राप्त किए जा सकें। हालाँकि, प्लैक्सेट और वर्टेक्स स्टेबलाइज़र जो टोरिक कोड का वर्णन करते हैं, के विपरीत, बीबी कोड के चेक ऑपरेटर ज्यामितीय रूप से स्थानीय नहीं होते हैं। इसके अलावा, प्रत्येक जाँच छह क्यूबिट्स पर कार्य करती है बजाय चार क्यूबिट्स के। हम कोड का वर्णन एक टैनर ग्राफ़ द्वारा करेंगे जहाँ के प्रत्येक शीर्ष या तो डेटा क्यूबिट या जाँच ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करता है। एक जाँच शीर्ष और एक डेटा शीर्ष एक किनारे से जुड़े होते हैं यदि वीं जाँच ऑपरेटर वीं डेटा क्यूबिट पर गैर-तुच्छ रूप से कार्य करती है (पॉली या लागू करके)। क्रमशः सतह और बीबी कोड के उदाहरण टैनर ग्राफ़ के लिए चित्र देखें। किसी भी बीबी कोड के टैनर ग्राफ़ में वर्टेक्स डिग्री छह और ग्राफ़ मोटाई दो होती है, जिसका अर्थ है कि इसे दो एज-डिस्जॉइंट प्लेनर सबग्राफ में विघटित किया जा सकता है ( )। मोटाई-2 क्यूबिट कनेक्टिविटी सुपरकंडक्टिंग क्यूबिट्स के लिए अच्छी तरह से अनुकूल है जो माइक्रोवेव रेज़ोनेटर द्वारा युग्मित हैं। उदाहरण के लिए, कपलर की दो प्लेनर परतें और उनकी नियंत्रण रेखाएं क्यूबिट्स की मेजबानी करने वाली चिप के शीर्ष और नीचे की तरफ संलग्न की जा सकती हैं, और दोनों तरफ मिलान किया जा सकता है। 41 35 36 42 विधि 43 44 X Z 7 X Z G G i j i j X Z 1a,b 29 विधि , तुलना के लिए एक सतह कोड का टैनर ग्राफ़। , [] पैरामीटर वाले बीबी कोड का टैनर ग्राफ़ जो एक टोरस में एम्बेडेड है। टैनर ग्राफ़ का कोई भी किनारा डेटा और जाँच शीर्ष को जोड़ता है। q(L) और q(R) रजिस्टरों से जुड़े डेटा क्यूबिट्स को नीले और नारंगी वृत्तों द्वारा दिखाया गया है। प्रत्येक शीर्ष में चार छोटी-दूरी के किनारों (उत्तर, दक्षिण, पूर्व और पश्चिम की ओर इशारा करते हुए) और दो लंबी-दूरी के किनारों सहित छह आसन्न किनारे होते हैं। अव्यवस्था से बचने के लिए हम केवल कुछ लंबी-दूरी के किनारों को दिखाते हैं। धराशायी और ठोस किनारे दो प्लेनर सबग्राफ को दर्शाते हैं जो टैनर ग्राफ़ को फैलाते हैं, विधि देखें। , संदर्भ के अनुसार और को मापने के लिए टैनर ग्राफ़ विस्तार का एक स्केच। , सतह कोड से जुड़ा हुआ है। माप के लिए सहायक को क्वांटम टेलीपोर्टेशन और कुछ तार्किक इकाइयों के माध्यम से सभी तार्किक क्यूबिट्स के लिए लोड-स्टोर संचालन को सक्षम करने के लिए सतह कोड से जोड़ा जा सकता है। यह विस्तारित टैनर ग्राफ़ भी और किनारों ( ) के माध्यम से मोटाई-2 आर्किटेक्चर में एक कार्यान्वयन है। क ख ग 50 विधि [[ , , ]] पैरामीटर वाला एक बीबी कोड तार्किक क्यूबिट्स को डेटा क्यूबिट्स में एन्कोड करता है जो एक कोड दूरी प्रदान करता है, जिसका अर्थ है कि कोई भी तार्किक त्रुटि कम से कम डेटा क्यूबिट्स तक फैलती है। हम डेटा क्यूबिट्स को /2 प्रत्येक के दो रजिस्टरों ( ) और ( ) में विभाजित करते हैं। कोई भी जाँच ( ) से तीन क्यूबिट्स और ( ) से तीन क्यूबिट्स पर कार्य करती है। कोड त्रुटि सिंड्रोम को मापने के लिए सहायक जाँच क्यूबिट्स पर निर्भर करता है। हम जाँच क्यूबिट्स को /2 प्रत्येक के दो रजिस्टरों ( ) और ( ) में विभाजित करते हैं जो क्रमशः और प्रकार के सिंड्रोम एकत्र करते हैं। कुल मिलाकर, एन्कोडिंग 2 भौतिक क्यूबिट्स पर निर्भर करती है। इसलिए शुद्ध एन्कोडिंग दर = /(2 ) है। उदाहरण के लिए, मानक सतह कोड आर्किटेक्चर एक दूरी- कोड के लिए = 1 तार्किक क्यूबिट को = 2 डेटा क्यूबिट्स में एन्कोड करता है और सिंड्रोम मापों के लिए − 1 जाँच क्यूबिट्स का उपयोग करता है। शुद्ध एन्कोडिंग दर ≈ 1/(2 2) है, जो जल्दी से अव्यावहारिक हो जाती है क्योंकि एक को बड़े कोड दूरी को चुनना पड़ता है, उदाहरण के लिए, भौतिक त्रुटियाँ सीमा मान के करीब होने के कारण। इसके विपरीत, बीबी कोड में एन्कोडिंग दर ≫ 1/ 2 होती है, कोड उदाहरणों के लिए तालिका देखें। हमारी सर्वोत्तम जानकारी के अनुसार, तालिका में दिखाए गए सभी कोड नए हैं। दूरी-12 कोड [] निकट-अवधि के प्रदर्शनों के लिए सबसे आशाजनक हो सकता है, क्योंकि यह बड़े दूरी और उच्च शुद्ध एन्कोडिंग दर = 1/24 को जोड़ता है। तुलना के लिए, दूरी-11 सतह कोड में शुद्ध एन्कोडिंग दर = 1/241 होती है। नीचे, हम दिखाते हैं कि दूरी-12 बीबी कोड दूरी-11 सतह कोड से प्रायोगिक रूप से प्रासंगिक त्रुटि दरों की सीमा के लिए बेहतर प्रदर्शन करता है। n k d k n d d n n q L q R q L q R n n n q X q Z X Z n r k n d k n d n r d r d 1 1 r r त्रुटियों के संचय को रोकने के लिए त्रुटि सिंड्रोम को पर्याप्त बार मापा जाना चाहिए। यह एक सिंड्रोम माप सर्किट द्वारा पूरा किया जाता है जो प्रत्येक जाँच ऑपरेटर के समर्थन में डेटा क्यूबिट्स को संबंधित सहायक क्यूबिट के साथ CNOT गेट्स के अनुक्रम द्वारा जोड़ता है। फिर जाँच क्यूबिट्स को मापा जाता है, जिससे त्रुटि सिंड्रोम का मान प्रकट होता है। सिंड्रोम माप सर्किट को लागू करने में लगने वाला समय इसकी गहराई के समानुपाती होता है: गैर-ओवरलैपिंग CNOTs से बने गेट परतों की संख्या। चूंकि सिंड्रोम माप सर्किट निष्पादित होने पर नई त्रुटियां लगातार होती रहती हैं, इसलिए इसकी गहराई को कम किया जाना चाहिए। बीबी कोड के लिए सिंड्रोम माप का पूरा चक्र चित्र पर चित्रित किया गया है। सिंड्रोम चक्र को कोड की लंबाई की परवाह किए बिना केवल सात CNOT परतों की आवश्यकता होती है। जाँच क्यूबिट्स को सिंड्रोम चक्र की शुरुआत और अंत में आरंभ और मापा जाता है (विवरण के लिए विधि देखें )। सर्किट अंतर्निहित कोड की चक्रीय शिफ्ट समरूपता का सम्मान करता है। 2 Methods सात CNOT परतों पर निर्भर सिंड्रोम मापों का पूर्ण चक्र। हम सर्किट का एक स्थानीय दृश्य प्रदान करते हैं जिसमें प्रत्येक रजिस्टर q(L) और q(R) से केवल एक डेटा क्यूबिट शामिल है। सर्किट क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर शिफ्ट के तहत सममित है। प्रत्येक डेटा क्यूबिट CNOTs के साथ तीन X-चेक और तीन Z-चेक क्यूबिट्स के साथ जुड़ा हुआ है: अधिक विवरण के लिए विधि देखें। पूर्ण त्रुटि सुधार प्रोटोकॉल Nc ≫ 1 सिंड्रोम माप चक्रों को निष्पादित करता है और फिर एक डिकोडर को कॉल करता है: एक शास्त्रीय एल्गोरिथम जो मापा सिंड्रोम को इनपुट के रूप में लेता है और डेटा क्यूबिट्स पर अंतिम त्रुटि का अनुमान आउटपुट करता है। त्रुटि सुधार सफल होता है यदि अनुमानित और वास्तविक त्रुटि जांच ऑपरेटरों के एक उत्पाद के मॉड्यूलो भिन्न होती है। इस मामले में, दो त्रुटियों का किसी भी एन्कोडेड (तार्किक) स्थिति पर समान प्रभाव पड़ता है। इस प्रकार, अनुमानित त्रुटि के व्युत्क्रम को लागू करने से डेटा क्यूबिट्स प्रारंभिक तार्किक स्थिति में वापस आ जाते हैं। अन्यथा, यदि अनुमानित और वास्तविक त्रुटि एक गैर-तुच्छ तार्किक ऑपरेटर से भिन्न होती है, तो त्रुटि सुधार विफल हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप तार्किक त्रुटि होती है। हमारे संख्यात्मक प्रयोग पांतेलेएव और कलाचेव द्वारा प्रस्तावित एक क्रमबद्ध सांख्यिकी डिकोडर (BP-OSD) के साथ विश्वास प्रसार पर आधारित हैं। मूल कार्य ने केवल मेमोरी त्रुटियों वाले खिलौना शोर मॉडल के संदर्भ में BP-OSD का वर्णन किया। यहाँ हम सर्किट-आधारित शोर मॉडल में BP-OSD का विस्तार करना दिखाते हैं, विवरण के लिए पूरक सूचना । हमारा दृष्टिकोण बारीकी से संदर्भों का अनुसरण करता है। , , , . 36 36 देखें 45 46 47 48 सिंड्रोम माप सर्किट का एक शोर संस्करण कई प्रकार के दोषपूर्ण संचालन शामिल कर सकता है जैसे कि निष्क्रिय डेटा या जाँच क्यूबिट्स पर मेमोरी त्रुटियां, दोषपूर्ण CNOT गेट्स, क्यूबिट आरंभीकरण और माप। हम सर्किट-आधारित शोर मॉडल पर विचार करते हैं जिसमें प्रत्येक ऑपरेशन संभाव्यता के साथ स्वतंत्र रूप से विफल रहता है। तार्किक त्रुटि L की संभाव्यता त्रुटि दर , सिंड्रोम माप सर्किट का विवरण, और डिकोडिंग एल्गोरिथम पर निर्भर करती है। Nc सिंड्रोम चक्रों के प्रदर्शन के बाद तार्किक त्रुटि संभाव्यता को L( c) होने दें। तार्किक त्रुटि दर को के रूप में परिभाषित करें। अनौपचारिक रूप से, 10 p p p P N
