Extensions des projets Hilbert : contexte sur la perspective tropicale

Tableau des liens

• Résumé et introduction
• Contexte de la perspective tropicale
• La construction agrandie
• Stabilité du GIT
• Perspective de la pile
• La pile de modules canoniques
• Les références

2. Contexte de la perspective tropicale

Nous introduisons brièvement ici le langage de la géométrie tropicale et logarithmique dans le contexte de ce problème. Pour plus de détails sur le contenu de cette section, voir l'article [Log], les notes de cours [Ran22a], ainsi que la première section de [MR20].

2.1 Tropicalisation et expansion

Les subdivisions de la tropicalisation définissent des expansions de X. Dans la suite, nous souhaiterons étudier d'éventuelles modifications birationnelles du schéma X autour du diviseur D. Dans le langage tropical, celles-ci s'expriment sous forme de subdivisions.

Une subdivision de la tropicalisation définit une modification birationnelle de X de la manière suivante. Le lotissement

2.2 Construction Maulik-Ranganathan

Nous rappellerons brièvement quelques points clés de [MR20]. Le but de leurs travaux est d'étudier l'espace des modules de faisceaux idéaux de type numérique fixe qui rencontrent transversalement le diviseur frontière. Certaines motivations clés pour l’étude d’un tel objet proviennent de la géométrie énumérative. Par exemple, une méthode couramment utilisée pour résoudre les problèmes de comptage de courbes dans une variété lisse donnée consiste à dégénérer cette variété en une union singulière de composants irréductibles plus simples. La propriété de transversalité est alors cruciale pour garantir que tout comportement intéressant des faisceaux idéaux sur l'objet dégénéré se produit avec un appui à l'intérieur des composants irréductibles les plus simples, ce qui permet de l'étudier plus facilement. L’une des principales difficultés de cette approche est que souvent, comme dans ce contexte, l’espace des poulies idéales transversales par rapport à D n’est pas compact. Construire la compactification appropriée donnera un espace plat et propre sur C. Dans [MR20], Maulik et Ranganathan formulent la théorie de Donaldson-Thomas de la paire (X, D), en commençant par construire des compactifications de l'espace des faisceaux idéaux dans X transversal à D.

Nous discutons de [MR20] spécifiquement par rapport au cas qui nous intéresse ici, à savoir celui d'une dégénérescence X ! C comme décrit ci-dessus, où nous cherchons à étudier l’espace des modules de poulies idéales avec un polynôme de Hilbert constant fixe m, pour certains m ∈ N par rapport au diviseur de frontière D = X0. L'idée clé est de construire la tropicalisation de X, notée ΣX , et une carte de tropicalisation correspondante, qui permet de comprendre comment obtenir les propriétés de transversalité souhaitées dans nos compactifications.

Existence et unicité des limites transversales. Maulik et Ranganathan introduisent des notions de transversalité dimensionnelle et de forte transversalité, qui, dans le cas spécifique des schémas de points de Hilbert, se révèlent équivalentes à la stabilité de Li-Wu (voir section 5.3 pour une définition de cette condition de stabilité). En général, pour les sous-schémas de dimension supérieure, ce ne sera cependant pas le cas.

Cette opération aboutit à une non-unicité, car on fait un choix de subdivision polyédrique et il n'y a en général pas de choix canonique.

L’ajout de ces sommets de tubes dans la tropicalisation signifie qu’il y a plus de composants potentiels dans chaque expansion, ce qui interfère avec les résultats d’unicité précédemment établis. En effet, rappelons que trop(Z ◦ ) nous a donné exactement le bon nombre de sommets dans le complexe dual pour que chaque famille de sous-schémas Z ◦ ⊂ X◦ ait un unique représentant limite. Par conséquent, pour refléter cela, la stabilité de Donaldson-Thomas demande que les sous-schémas soient stables DT si et seulement s'il s'agit de schémas de tubes précisément le long des composants du tube. Nous disons qu'un sous-schéma unidimensionnel est un tube s'il est la pré-image schématique d'un sous-schéma zérodimensionnel dans D. Dans le cas des schémas de points de Hilbert, cette condition se traduira simplement par un sous-schéma zérodimensionnel Z étant DT stable si et seulement si aucun composant du tube ne contient un point d'appui de Z et que tout autre composant irréductible développé par nos agrandissements contient au moins un point d'appui de Z.

Maulik et Ranganathan définissent un sous-schéma comme étant stable s'il est fortement transversal

et DT stable. Pour les invariants numériques fixes, la sous-pile de sous-schémas stables dans l'espace des expansions forme une pile Deligne-Mumford, proprement séparée, de type fini sur C.

Comparaison avec les résultats de cet article. La construction que nous présentons dans cet article a la propriété surprenante que nous n’avons pas besoin d’étiqueter des composants comme des tubes pour que la pile d’objets stables que nous définissons soit correcte. Il s’agit d’un artefact des choix spécifiques d’explosions à inclure dans nos dégénérescences élargies. Les travaux de Maulik et Ranganathan nous montrent que cela n’est pas attendu en général. Comme mentionné dans la section 1.3, nous discuterons dans un prochain article de la manière de construire des piles appropriées d'objets stables dans les cas où différents choix d'expansions sont faits et où il devient également nécessaire d'introduire une condition de stabilité de Donaldson-Thomas.