
 
 Redatelj: Kevin Buzzard Redatelj: Kevin Buzzard Table Of Links Levo od stola Abstrakcija 
 
 Priznanja & Uvod Priznanja & Uvod 2. Universal properties 2. univerzalna svojstva 3. Products in practice Proizvodi u praksi 4. Universal properties in algebraic geometry Univerzalna svojstva u algebrskoj geometriji 5. The problem with Grothendieck’s use of equality. Problem s Grothendieckovom upotrebom jednakosti. 6. More on “canonical” maps Više o „kanonskim“ mapama 7. Canonical isomorphisms in more advanced mathematics Kanonski izomorfizmi u naprednijoj matematici 8. Summary And References 8. sažetak i reference Abstract Abstrakcija Razgovaramo o tome kako matematičari (uključujući Grothendiecka) koriste koncept jednakosti i kakav je to učinak kada pokušavamo formalizovati matematiku. Overview Mnogi matematički objekti i konstrukcije su jedinstveno karakterizovani nekim tipom definirajućeg svojstva. Na primer, stvarni brojevi su jedinstveno kompletno arhimedejsko polje, a mnoge konstrukcije u algebri (lokalizacije, tensorski proizvodi. . . ) i topologiju (produkt topoloških prostora, dovršetak metričkog ili ujednačenog prostora. . . ) su jedinstveno karakterizirane univerzalnom svojstvom. Da budem precizniji, želim raspravljati o svojstvima koja definišu matematički predmet do jedinstvenog izomorfizma. Ovo je vrlo snažna izjava: da bismo dali ne-primjer, mogli bismo razmotriti svojstvo bića grupe reda 5. Postoji samo jedna takva grupa, do izomorfizma, međutim ova grupa ima automorfizma (na primer, mapa šalje element na svoj kvadrat), što znači da je jedinstvena, ali samo do ne-jedinstvenog izomorfizma, i stoga svojstvo da je grupa reda 5 nije vrsta svojstva o kojem se radi u ovom dokumentu. Možete (i verovatno biste trebali) razviti teoriju objekata karakterizovanih P-om koristeći samo pretpostavku P, i ne morate se brinuti o bilo kojoj specifičnoj konstrukciji objekta (osim što znate da postoji neka konstrukcija koja zadovoljava P, i stoga vaša teorija nije vakuum). Assertion 1. Bilo koja dva matematička objekta koji zadovoljavaju P mogu se u praksi pretpostaviti da su jednaki, jer svaka matematički značajna tvrdnja koju zadovoljava jedan, zadovoljava i drugi. Assertion 2. Općenito, ako imate dva objekta koji su kanonski izomorfni, onda se ti objekti u praksi mogu pretpostaviti da su jednaki. Assertion 3. Razmotrimo jedan primer. Dok postoje nekoliko različitih konstrukcija stvarnih brojeva od racionalnih (kaučijske sekvence, Dedekindove rezove, Bourbakijev jedinstveni svemirski završetak., . . . ), sva osnovna analiza koja se podučava u prvom osnovnom kursu razvija se koristeći samo arhimedijanske i axiome potpunosti koje zadovoljavaju stvarni. Matematičar ne bi sanjao da kaže koju definiciju stvarnih brojeva koriste – to bi bilo apsurdno. Zapravo, Njutn, Euler i Gauss su sretno koristili „stvarne brojeve“ mnogo prije nego što su Cauchy, Dedekind i Bourbaki došli zajedno sa svojim različitim modelima: svaka od njihovih definicija redovnog polja R je jedinstveno izomofska prema drugima, tako da Reći ću više o lokalizacijama kasnije, ali postoji i nekoliko različitih konstrukcija lokalizacije R[1/S] komutativnog prstena na multiplikacijskom podskupu (koecijent R×S, koecijent multivarijabilnog polinomijskog prstena. . . ) i matematičar nikada ne bi precizno naveo koju konstrukciju koriste kada pišu R[1/S]; znamo da je to irelevantno. U ovom članku tvrdim da je prva tvrdnja iznad lažna, druga je opasna, a treća je beznačajna. tvrdnje 2 i 3 čini se da se koriste na mnogim mestima u literaturi algebraske geometrije – u stvari ćemo kasnije raspravljati o Grothendieckovoj upotrebi simbola = u nekoj dubini. međutim, kao radni matematičar sam takođe svjestan da se ovde događa nešto dublje, što mi je teško staviti prst na. Koncept da su dva objekta kanonski izomorfna i stoga se mogu identificirati izuzetno je važan u praksi; to je korisno organizacijsko načelo, to smanjuje kognitivno opterećenje, i to u praksi ne uvodi greške u argumente, barem ako autor zna šta oni rade. Recimo da se pokušava formalizovati neka matematika na računalu (tj. prevesti matematiku iz papirne literature na jezik interaktivnog provera teorema – računalni program koji poznaje aksiome matematike i pravila logike). Kada je neko prisiljen da napiše šta zapravo znači i ne može se sakriti iza takvih loše definisanih reči kao što su "kanonski", ili tvrdi da su nejednakosti jednake, ponekad se nađe da se mora učiniti dodatni posao, ili čak ponovno razmisliti o tome kako određene ideje treba predstaviti. S dolaskom formalizovanja matematike oko algebračke i aritmetičke geometrije koristeći računalne teoremske testove, na primjer, rad koji izlazi iz Lean prover zajednice ([BCM20], [Liv23], [dFF23], [AX23], [Zha23],. . . ) i srodni rad u Isabelle ([BPL21]) i kubični Agda ([ZM23]), ove stvari će početi da važe. 
 
 Ovaj dokument je dostupan na archiv pod licencom CC BY 4.0 DEED. Ovaj papir je pod licencom CC BY 4.0 DEED. available on arxiv Dostupno u Arhivu

Part of HackerNoon's growing list of open-source research papers, promoting free access to academic material.

MediaBias.TECH

We publish deeply researched (and often vastly underread) academic papers about our collective omnipresent media bias.

MediaBias's

Ovaj audio je proizveden na originalnom jeziku priče!

Grothendieck, jednakost i problem formalizovanja matematičkih argumenata

About Author

KOMENTARI

HANG TAGS

OVAJ ČLANAK JE PREDSTAVLJEN U

Related Stories

Light-Mode

Classic

Newspaper

Minty

Dark-Mode

Neon Noir

Minty

HN StartUps