비분할 토릭 번들을 위한 거울 정리: 요약 및 소개

링크 표

• 초록 및 소개
• Genus-zero Gromov-Witten 이론
• 토릭 번들
• 토릭 묶음의 라그랑주 원뿔
• 투영 묶음의 생성물에 대한 거울 정리
• 토릭 번들의 거울 정리
• 부록 A. 등변 푸리에 변환 및 참조

추상적인

우리는 (반드시 분할될 필요는 없는) 벡터 묶음의 섬유별 GIT 지수로 얻은 토릭 묶음에 대한 I-함수를 구성합니다. 이는 분할 토릭 묶음에 대한 Brown의 I-함수[5]와 비분할 투영 묶음에 대한 I-함수[21]의 일반화입니다. 거울 정리를 증명하기 위해 우리는 토릭 묶음의 지방 라그랑주 원뿔에 점의 특성을 확립하고 투영 묶음의 섬유 제품에 대한 비틀린 Gromov-Witten 이론에 대한 거울 정리를 증명합니다. 전자의 결과는 분할 토릭 묶음[5]에 대한 Brown의 특성을 분할되지 않은 경우로 일반화합니다.

1. 소개

매끄러운 사영 다양성 X의 영속 Gromov-Witten 이론은 대칭 기하학, 대수 기하학 및 거울 대칭에서 중요한 역할을 합니다. 이는 거울 정리[13], 즉 Givetal Lagrangian cone LX[14]에서 편리한 점(I-함수라고 함)을 찾아 연구할 수 있습니다. 원뿔 LX는 기븐탈 공간(Givental space)이라고 불리는 무한 차원 대칭 벡터 공간 HX의 라그랑지안 하위 다양체이며, 영(genus-zero) 중력 Gromov-Witten 불변량으로 정의됩니다. X에 대한 거울 정리를 사용하면 X의 Genus-zero Gromov-Witten 불변량을 계산하고 양자 공상성을 연구할 수 있습니다.

이는 분할 토릭 묶음에 대해 동일한 특성을 제공하는 Brown의 결과[5, 정리 2]를 일반화한 것입니다. 다른 품종/스택에 대해서도 유사한 특성 분석 결과가 있습니다. [8, 23, 11]을 참조하세요.

이 결과는 비분할 투영 다발에 대한 거울 정리의 간단한 일반화입니다[21, 정리 3.3]. 증명의 핵심 요소는 양자 Riemann-Roch 정리[9, Corollary 4]와 잘 알려진 사실[24]입니다. Gromov-Witten 불변은 다양한 X에 대한 볼록 벡터 묶음의 정규 섹션의 영 궤적입니다. X의 뒤틀린 Gromov-Witten 불변성에 의해 제공됩니다.

논문의 계획은 다음과 같습니다. 섹션 2에서는 GromovWitten 불변의 정의를 상기하고 비등변/등변/뒤틀린 지방 원뿔과 양자 Riemann-Roch 정리를 소개합니다. 섹션 3에서는 분할/비분할 토릭 묶음의 개념을 소개하고, 후속 섹션에서 필요할 유효 곡선 클래스에 의해 생성된 코호몰로지 및 세미그룹의 구조를 요약합니다. 섹션 4에서는 토릭 묶음의 라그랑주 원뿔에 있는 점에 대한 특성화 정리(정리 4.2)를 설정합니다. 섹션 5에서 우리는 B 위에 있는 돌출 다발의 섬유 제품에 대한 꼬인 Gromov-Witten 이론에 대한 거울 정리를 증명합니다. 섹션 6에서는 본 논문의 주요 결과(정리 6.1), 즉 (에 대한 거울 정리)를 증명합니다. 분할되지 않은) 토릭 번들일 수도 있습니다. 부록 A에서는 Givetal 원뿔의 푸리에 변환을 간략하게 설명하고 I-함수가 벡터 묶음의 I-함수의 푸리에 변환과 일치하는지 확인합니다.

감사의 말씀 . 저자는 이 논문을 집필하는 동안 지도와 열정적인 지원을 해준 이리타니 히로시에게 깊은 감사를 드립니다. 그는 또한 매우 유용한 토론을 해준 Yuan-Pin Lee와 Fumihiko Sanda에게도 감사의 말씀을 전하고 싶습니다. 이 작품은 JSPS KAKENHI 보조금 번호 22KJ1717의 지원을 받았습니다.