ヒルベルトスキームの拡張：熱帯の視点の背景

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• 概要と序文
• 熱帯観点の背景
• 拡張された建設
• GITの安定性
• スタックの視点
• 標準モジュライスタック
• 参考文献

2. 熱帯観点の背景

ここでは、この問題の文脈における熱帯幾何学と対数幾何学の言語を簡単に紹介します。このセクションの内容の詳細については、論文 [Log]、講義ノート [Ran22a]、および [MR20] の最初のセクションを参照してください。

2.1 熱帯化と拡大

熱帯化の細分は、X の展開を定義します。以下では、約数 D の周りのスキーム X の可能な双有理的修正を検討します。熱帯言語では、これらは細分として表現されます。

熱帯化の細分化は、Xの双有理的修正を次のように定義する。

2.2 マウリック・ランガナサン構造

[MR20] のいくつかの重要な点を簡単に振り返ってみましょう。彼らの研究の目的は、境界因子を横方向に満たす固定数値型のイデアル層のモジュライ空間を調べることです。このようなオブジェクトを調べる主な動機のいくつかは、列挙幾何学から来ています。たとえば、与えられた滑らかな多様体における曲線の計数の問題に対処するために使用される一般的な方法は、この多様体を、より単純な既約成分の特異な和集合に退化させることです。横方向の性質は、退化したオブジェクト上のイデアル層の興味深い動作がすべて、より単純な既約成分の内部でサポートされて発生することを保証するために重要であり、これにより、より簡単に調べることができます。このアプローチの主な困難の 1 つは、この設定の場合のように、D に関する横方向イデアル層の空間が非コンパクトであることが多いことです。適切なコンパクト化を構築すると、C 上で平坦かつ適切な空間が得られます。[MR20] では、Maulik と Ranganathan は、D を横切る X のイデアル層の空間のコンパクト化を構築することから始めて、ペア (X, D) の Donaldson-Thomas 理論を定式化しています。

[MR20] では、ここで関心のあるケース、つまり上記の退化 X ! C の場合について具体的に議論します。このケースでは、境界因子 D = X0 に関して、ある m ∈ N に対して、固定定数ヒルベルト多項式 m を持つ理想層のモジュライ空間を研究します。重要なアイデアは、X の熱帯化 (ΣX と表記) と、対応する熱帯化マップを構築することです。これは、コンパクト化で目的の横断特性をどのように得るかを理解するために使用します。

横断的極限の存在と一意性。Maulik と Ranganathan は次元横断性と強い横断性の概念を導入しました。これは、点のヒルベルト スキームの特定のケースでは、Li-Wu 安定性と同等になります (この安定性条件の定義については、セクション 5.3 を参照してください)。ただし、一般に、高次元のサブスキームでは、これは当てはまりません。

この操作では、多面体の細分化の選択を行っており、一般に標準的な選択がないため、一意性が失われます。

トロピカル化におけるこれらのチューブ頂点の追加は、各展開に潜在的な成分が増えることを意味し、これは以前に設定された一意性の結果に干渉します。実際、trop(Z ◦ ) は、各サブスキーム ◦ ⊂ X◦ の族が一意の極限代表を持つように、双対複体の頂点の正確な数を与えたことを思い出してください。したがって、これを反映するために、ドナルドソン-トーマス安定性は、サブスキームがチューブ成分に正確に沿ったチューブスキームである場合に限り、DT 安定であることを要求します。1 次元サブスキームは、D の 0 次元サブスキームの図式的原像である場合にチューブであると言います。点のヒルベルトスキームの場合、この条件は、チューブ成分が Z のサポートの点を含まず、ブローアップによって展開された他のすべての既約成分が Z のサポートの点を少なくとも 1 つ含む場合に限り、0 次元サブスキーム Z が DT 安定であることを意味します。

モーリックとランガナサンは、強く横方向であるサブスキームを安定であると定義している。

そして DT は安定です。数値不変量を固定した場合、展開空間内の安定サブスキームのサブスタックは、C 上の有限型の Deligne-Mumford の適切な分離スタックを形成します。

この論文の結果との比較。この論文で紹介する構成には、定義する安定オブジェクトのスタックが適切であるためには、どのコンポーネントもチューブとしてラベル付けする必要がないという驚くべき特性があります。これは、拡張された退化に含まれる爆発の特定の選択によるものです。Maulik と Ranganathan の研究は、これが一般には予想されないことを示しています。セクション 1.3 で述べたように、次の論文では、異なる拡張が選択され、ドナルドソン-トーマスの安定性条件を導入する必要が生じた場合に、安定オブジェクトの適切なスタックを構築する方法について説明します。