GITシーケンス: 任意の次元

に Graph Theory4m2024/06/04

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研究者たちは、位相的/組み合わせ的方法を用いてクライン＝モーザー定理を改良し、ハミルトン系の線形安定性と分岐を研究しています。

著者:

（１）アグスティン・モレノ

（２）フランチェスコ・ルシェリ

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5. GITシーケンス: 任意の次元

これらの成分の中には、安定した周期軌道に対応する特別な成分である安定成分があります。その組み合わせ論は、連想面体の商によって支配されることを示します。

5.1. 実代数幾何学。実係数を持ちn次の単項多項式の空間を考える。すなわち、

多項式の判別式は次のように定義される。

例5.1. n = 3の場合、すべての多項式

変数変換 y = x − b/3 により、2次の項を持たない多項式（減算3次多項式）に変換できる。つまり、

注 5.2。スペクトルに複素四重項がある場合、Bblock には常に少なくとも 1 つの diag(1, −1) 形式の加数が含まれることに注意してください。双線形形式として見ると、この行列は常に混合シグネチャを持ちます。シグネチャは非退化双線形形式の空間で連続的に動作するため、これは、残りの固有値を固定したまま、対応する四重項を、明確なシグネチャを持つ重複度 2 の双曲型または楕円型のペアに接続できないことを意味します。これが、Krein–Moser 定理 (付録 A を参照) を意味する主な観察です。これは、対称軌道に対する定理の改良 (定理 A) も意味します。

非正規の場合。非正規の場合も同様に扱うことができますが、組み合わせ論はより複雑になります。実際、Aが実固有値を持つと仮定します。

ここで、±1を固有値として認め、複素固有値も認める。

多重度は次のように表される。

連想面体。安定領域の境界組み合わせ論は、次のようにコード化することもできる。単純固有値を次のように特定する。

は、固有値νjとνj+1が重複度2の固有値に収束することを示しており、これは、

(1, . . . , 1) 7→ (1, . . . , 2, . . . , 1)。

同様に、さらに括弧

−1ν1 。。。 νj−1{νj,νj+1} です。。。 νl1 7→ −1ν1 . 。。 {νj−1,νj,νj+1} です。。。 νl1

は、固有値νj−1が前の重複度2の固有値と重なって重複度3の固有値になったことを示し、これは収縮に対応する。

(1, . . . , 1, 2, . . . , 1) 7→ (1, . . . , 3, . . . , 1).

この構成は、明らかな方法で反復されます。ここでは、固有値が ±1 と一緒になることも許可します。つまり、{−1, ν1}ν2{ν3, ν4, 1} は有効な式です。括弧内の要素の順序は無関係であることを示すために、括弧表記を使用していることに注意してください。この構成を反復すると、文字列の poset (すべての開いた括弧に対応する閉じた括弧が伴い、ネストされた括弧はありません) が生成され、2 つの文字列 a、b は、b が a からの括弧操作のシーケンスによって取得される場合、a ≤ b を満たします。この poset は、構築によって、安定領域の境界組み合わせをエンコードします。

さて、上記は括弧演算の操作と密接に関係している。

そして、上と同様に繰り返します。例えば、

などがあり、ここで有効な式は例えば ((−1ν1)ν2)ν3(ν41) である。括弧は、式内のすべての括弧を削除した結果、つまり記号的に (. . .(. . .). . .) 7→ (. . .) となり、対応する置換群の作用によって (つまり括弧内の要素の数に応じて) 変形した結果、記号的に

たとえば、上記の式は {−1, ν1, ν2}ν3{ν4, 1} となり、括弧内の要素の順序は関係なくなります。

しかし、括弧付きの式の組み合わせ論は、結合面体と呼ばれる非常によく知られた多面体によって支配されています。これは、(m − 2) 次元の凸多面体 K mであり、各頂点は m 文字の文字列に開始括弧と終了括弧を正しく挿入する方法に対応し (つまり、積の演算の順序が一意に決定されます)、辺は結合規則の単一の適用に対応します。これは、矢印が括弧を右に移動したことを示している場合 (これはタマリ格子です)、ポセットとして見ることもできます。さらに、辺にラベルを付けることもできます。