ヒルベルトスキームの展開: 標準モジュライスタック

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6. 標準モジュライスタック

6.1 適切性とドリーニュ・マンフォード特性

特殊オブジェクトに対する極限の存在と一意性。特殊要素に対する極限の存在と一意性、つまり S の一般点上の繊維 Xη が修正された特殊繊維そのものであるかどうかに関する次の補助結果を証明する前に、いくつかの定義を確立する必要があります。

まず、評価基準を使用して、最初のケースにおける極限の存在と一意性を証明することから始めます。V は、P が内部にある Xη の既約成分を表します。P は X の 1 つの層以上の余次元に向かう傾向があるため、その極限が (Zη, Xη) の拡張で滑らかにサポートされるためには、この拡張で少なくとも 1 つの ∆ 成分を展開する必要があることに注意してください。このような (Zη, Xη) の拡張で、一般点上のファイバー内の V の内部からこの展開された ∆ 成分の内部への平滑化が存在するのは、この ∆ 成分が一般点上のファイバー内の V と等しい場合のみです。さらに、V に等しいそのような ∆ 成分がない場合、x、y、z 座標のいずれも 0 に向かう傾向がありません (定義方程式の両辺が 0 に向かう傾向がある必要があるため)。

Deligne-Mumford プロパティ。最後に、構築された安定オブジェクトの両方のスタックが有限自己同型を持つことを示します。

証明。これはこのセクションの結果から直接導かれます。

6.2 スタックの同型性

AlperとKresch [AK16]による次の結果も必要になります。

ここで、次の定理を証明できます。