Un théorème du miroir pour les faisceaux toriques non divisés : résumé et introduction

Tableau des liens

• Résumé et introduction
• Genre-zéro Théorie de Gromov-Witten
• Faisceaux toriques
• Cônes lagrangiens de faisceaux toriques
• Théorème du miroir pour un produit de fibrés projectifs
• Théorème du miroir pour les faisceaux toriques
• Annexe A. Transformation de Fourier équivariante et références

Abstrait

Nous construisons une fonction I pour les fibrés toriques obtenus comme un quotient GIT par fibre d'un fibré vectoriel (pas nécessairement divisé). Il s'agit d'une généralisation de la fonction I de Brown pour les faisceaux toriques divisés [5] et de la fonction I pour les faisceaux projectifs non divisés [21]. Afin de prouver le théorème du miroir, nous établissons une caractérisation des points sur les cônes lagrangiens de Givental des faisceaux toriques et démontrons un théorème du miroir pour la théorie tordue de Gromov-Witten d'un produit fibreux de faisceaux projectifs. Le premier résultat généralise la caractérisation de Brown pour les faisceaux toriques divisés [5] au cas non divisé.

1. Introduction

La théorie de Gromov-Witten de genre zéro d'une variété projective lisse X joue un rôle important dans la géométrie symplectique, la géométrie algébrique et la symétrie miroir. Il peut être étudié par un théorème du miroir [13], c'est-à-dire en trouvant un point pratique (appelé fonction I) sur le cône lagrangien de Givental LX [14]. Le cône LX est une sous-variété lagrangienne d'un espace vectoriel symplectique de dimension infinie HX, appelé espace de Givental, et est défini par des invariants gravitationnels de Gromov-Witten de genre zéro. Un théorème du miroir pour X nous permet de calculer les invariants de Gromov-Witten de genre zéro de X et d'étudier la cohomologie quantique.

Il s'agit d'une généralisation du résultat de Brown [5, Théorème 2], qui donne la même caractérisation pour les fibrés toriques divisés. Il existe également des résultats de caractérisation similaires pour d’autres variétés/empilements ; voir [8, 23, 11].

Ce résultat est une généralisation simple du théorème du miroir pour les fibrés projectifs non divisés [21, Théorème 3.3]. L'ingrédient clé de la preuve est le théorème quantique de Riemann-Roch [9, corollaire 4] et le fait bien connu [24] que les invariants de Gromov-Witten du lieu zéro d'une section régulière d'un fibré vectoriel convexe sur une variété X sont donnés par des invariants tordus de Gromov-Witten de X.

Le plan du journal est le suivant. Dans la section 2, nous rappelons la définition des invariants de GromovWitten et introduisons les cônes de Givental non équivariants/équivariants/torsadés et le théorème quantique de Riemann-Roch. Dans la section 3, nous introduisons la notion de fibrés toriques divisés/non divisés et résumons la structure de la cohomologie et les semi-groupes générés par les classes de courbes effectives, qui seront nécessaires dans les sections suivantes. Dans la section 4, nous établissons un théorème de caractérisation (théorème 4.2) pour les points du cône lagrangien d'un fibré torique. Dans la section 5, nous prouvons un théorème du miroir pour la théorie tordue de Gromov-Witten d'un produit fibreux de faisceaux projectifs sur B. Dans la section 6, nous prouvons le résultat principal (théorème 6.1) de cet article, c'est-à-dire un théorème du miroir pour ( éventuellement non divisés) des faisceaux toriques. Dans l'annexe A, nous expliquons brièvement une transformée de Fourier des cônes de Givental et vérifions que notre fonction I coïncide avec la transformée de Fourier de la fonction I d'un fibré vectoriel.

Remerciements . L’auteur exprime sa profonde gratitude à Hiroshi Iritani pour ses conseils et son soutien enthousiaste lors de la rédaction de cet article. Il souhaite également remercier Yuan-Pin Lee et Fumihiko Sanda pour leurs discussions très utiles. Ce travail a été soutenu par la subvention JSPS KAKENHI numéro 22KJ1717.