Extensions pour les schémas Hilbert : stabilité GIT

Tableau des liens

• Résumé et introduction
• Contexte de la perspective tropicale
• La construction agrandie
• Stabilité du GIT
• Perspective de la pile
• La pile de modules canoniques
• Les références

4. Stabilité du GIT

Dans cette section, nous mettons en place des résultats analogues à ceux de [GHH19] pour décrire diverses conditions de stabilité GIT sur le schéma X[n] par rapport aux choix possibles de faisceaux de lignes G-linéarisés décrits dans la section précédente. En particulier, nous montrons que ces conditions de stabilité ne dépendent pas de la structure du schéma des sous-schémas de dimension zéro de longueur m, mais peuvent plutôt être réduites à des critères combinatoires sur des configurations de n points.

4.1 Critère de Hilbert-Mumford

Dans cette section, nous rappellerons la définition des invariants de Hilbert-Mumford et donnerons un critère numérique de stabilité et de semi-stabilité en fonction de ces invariants.

Soit H un groupe réducteur agissant sur un schéma S, qui est propre sur un corps k algébriquement clos. Soit L un fibré de lignes amples H-linéarisé. Alors un sous-groupe à 1 paramètre de H (noté 1-PS par commodité) est défini comme étant un homomorphisme

4.2 Action du sous-groupe à 1 paramètre

4.3 Poids bornés et combinatoires

Dans cette section, nous expliquons la relation entre ce que [GHH19] appelle les poids bornés et combinatoires des invariants de Hilbert-Mumford.

En gardant la notation aussi cohérente que possible avec [GHH19], soit

être la famille universelle, avec des première et deuxième projections p et q. Le paquet de lignes

est relativement ample lorsque l ≫ 0 et est G-linéarisé, exactement comme dans la section 2.2.1 de [GHH19].

Relation entre les poids bornés et combinatoires. Les lemmes suivants décrivent comment l'invariant de Hilbert-Mumford peut être décomposé en une somme d'invariants.

Notez que, alors que le poids combinatoire dépend du choix du faisceau de lignes linéarisé, ce n’est pas le cas du poids borné. De la même manière que [GHH19], nous pouvons montrer que le poids borné, comme son nom l’indique, peut recevoir une borne supérieure.

Le résultat suivant est basé sur le lemme 2.3 de [GHH19], avec quelques légères modifications pour s'adapter à notre contexte.

Voyons maintenant comment le poids limité affecte la condition de stabilité globale. Le lemme suivant est immédiat de [GHH19], mais nous rappelons ici leur preuve pour plus de commodité.

Preuve . Comme nous avons montré que le poids borné peut être exprimé comme

il s'agit simplement de choisir une valeur de l suffisamment grande pour que le poids combinatoire l'emporte sur le poids borné. Cela nous permet effectivement de traiter le poids borné comme négligeable et de l'ignorer dans nos calculs.

Remarque 4.3.5. Notez ici qu'un tel Z ne sera pas nécessairement supporté en douceur, et que chaque point du support de Z ne sera pas nécessairement contenu dans une composante ∆.

Répéter ce processus sur tout k ∈ {1, . . . , n} nous donnera une description de L et nous pourrons former le fibré de droites G-linéarisé M à partir de ce fibré de droites de la manière décrite au début de cette section. Pour plus de détails sur la raison pour laquelle cela donne un poids combinatoire positif, voir la preuve du lemme suivant. Notez que ce n'est pas la seule condition de stabilité GIT pour laquelle Z est stable.

Preuve . Il est clair que le poids combinatoire peut s’écrire sous la forme d’une somme

4.4 Locus semistable et quotient GIT

Preuve . Cela découle des lemmes 4.3.3 et 4.3.7. En effet, d’après le lemme 4.3.3, si le poids combinatoire peut s’écrire sous la forme

Preuve . Choisissons un fibré de droites G-linéarisé arbitraire M, pas nécessairement construit comme ci-dessus, par rapport auquel Z a un invariant de Hilbert-Mumford

Preuve . Cela découle directement des lemmes 4.4.1 et 4.4.2.

Nous pouvons maintenant décrire les quotients GIT issus de ces constructions. Laisser

Puis on rappelle du lemme 3.1.13, l'isomorphisme

Pour tous les choix de faisceau de droites linéarisés décrits ci-dessus, le quotient GIT sur la base se comporte donc comme suit

Preuve . Ce résultat découle directement du critère relatif de Hilbert-Mumford de [GHH15].