Extensions pour les schémas Hilbert : perspective de pile

Tableau des liens

• Résumé et introduction
• Contexte de la perspective tropicale
• La construction élargie
• Stabilité du GIT
• Perspective de la pile
• La pile de modules canoniques
• Les références

5. Perspective de la pile

5.1 Empilements et conditions de stabilité

Avant de décrire les dégénérescences étendues sous forme de stacks, nous commentons le rôle des stacks dans ce problème et les conditions de stabilité définies dans la section 5.3.

Changement de base . Notre objectif est de construire des dégénérescences de schémas de points de Hilbert comme de bons espaces de modules. Dans les preuves des propositions 6.1.2 et 6.1.4, nous utiliserons le critère valuatif pour prouver la fermeture et la séparation universelles. Nous verrons que cet argument ne tient qu’au changement de base, c’est pourquoi il est nécessaire pour nous de travailler avec des piles plutôt qu’avec des schémas.

Dans les sections suivantes, lors de l'étude des piles de quotients, nous souhaiterons donc considérer le sous-locus du locus stable stable GIT contenant uniquement des sous-schémas de dimension zéro de longueur m qui sont supportés en douceur dans une fibre donnée de X[n]. Construire une compactification dans laquelle les limites sont représentées par des sous-schémas à support fluide sera également utile pour les applications futures car cela nous permettra de décomposer le problème d'un schéma de Hilbert de m points sur une surface singulière en produits de schémas de Hilbert de moins de m points sur composants lisses.

Définition 5.1.1. Nous disons qu'une fibre dans une certaine dégénérescence étendue X[n] a une codimension de base k si exactement k directions de base disparaissent au niveau de cette fibre. Ceci est indépendant de la valeur n.

Rendre les dégénérescences étendues suffisamment importantes. Enfin, si nous construisons un quotient GIT unique dans lequel tous les sous-schémas limites ne sont pas supportés de manière fluide, alors les limites données par les fermetures d'orbite contenant uniquement des sous-schémas avec support singulier ne se situeront pas dans une fibre de la codimension de base attendue. Cela donne l’intuition que la dégénérescence que nous avons choisie est trop faible. Cela étant dit, il peut être utile de réfléchir à ce quotient GIT si ce que l'on cherche à faire est simplement de résoudre les singularités de manière à préserver certaines bonnes propriétés de l'espace, par exemple dans le contexte de la construction de modèles minimaux pour les dégénérescences de type III. des schémas de points de Hilbert sur les surfaces K3.

5.2 Construction étendue pour les piles

5.3 Conditions de stabilité.

Nous remarquons que puisque le lieu lisse des fibres de X[n] est G-invariant, restreindre le foncteur à ce lieu préserve la G-invariance. Les restrictions des loci semistables et stables aux loci des sous-schémas supportés en douceur donnent donc des sous-schémas ouverts G-invariants.

Nous avons les inclusions suivantes :

Stabilité Li-Wu. Nous rappelons ici la notion de stabilité utilisée dans [LW15], afin de la comparer avec la stabilité GIT et de construire une condition de stabilité appropriée pour ce cas.

Stabilité GIT modifiée. Comme indiqué ci-dessus, nous souhaitons uniquement permettre aux sous-schémas zérodimensionnels de longueur m d'être stables si leur support se trouve dans le lieu lisse d'une fibre. Cependant, restreindre la condition de stabilité du GIT à ce locus fait que l’espace des sous-schémas stables n’est plus universellement fermé. En effet, il n’existe pas de condition GIT unique qui puisse représenter tous les sous-schémas de dimension zéro de longueur m souhaitée en tant que sous-schémas pris en charge de manière fluide. Il faut donc définir une condition de stabilité GIT modifiée qui rassemble plusieurs conditions de stabilité GIT afin d'obtenir le locus stable souhaité.