Combinatoire de la stabilité linéaire pour les systèmes hamiltoniens en dimension arbitraire : Introduction

Tableau des liens

• Abstrait
• Introduction
• Préliminaires
• La signature B
• Séquence GIT : faibles dimensions
• Séquence GIT : dimension arbitraire
• Annexe A. Stabilité, théorème de Krein-Moser, améliorations et références

1. Introduction

La stabilité des orbites périodiques est un sujet central dans l'étude des systèmes hamiltoniens, remontant au problème de stabilité du système solaire en mécanique céleste. Omniprésente dans l'étude des ODE, la notion de stabilité surgit dès l'étude des orbites en familles et de leurs bifurcations, une pratique qui présente un intérêt à la fois théorique et pratique. Par exemple, du point de vue de la conception des missions spatiales, les orbites utilisées pour garer un vaisseau spatial autour d’une Lune cible devraient être aussi stables que possible, afin de minimiser les corrections de carburant et le maintien en position. D'un point de vue mathématique, les notions clés de stabilité d'un système se déclinent en trois sortes, liées par les implications suivantes :

Stabilité non linéaire (Lyapunov) ⇒ stabilité linéaire ⇒ stabilité spectrale.

La stabilité non linéaire, en gros, signifie que les trajectoires qui commencent près d’une orbite périodique donnée restent proches de l’orbite pour toujours. La stabilité linéaire correspond à la stabilité de l'origine de la dynamique linéarisée, c'est-à-dire que les orbites du système linéarisé doivent rester bornées. Pour un système hamiltonien, cela signifie que les valeurs propres de la matrice de monodromie de l'orbite correspondante doivent se situer dans le cercle unité et être semi-simples. La stabilité spectrale, en revanche, nécessite que les valeurs propres se trouvent toutes dans le cercle unité, mais leur permet d'avoir une multiplicité (de sorte que les orbites puissent s'échapper vers l'infini en temps polynomial, plutôt qu'exponentiel). Dans cet article, nous nous concentrerons sur la notion de stabilité linéaire .

En présence de symétrie, l'étude de la stabilité linéaire des orbites périodiques préservées par la symétrie peut être considérablement affinée. Dans cette optique, le premier auteur et Urs Frauenfelder ont introduit dans [FM] la notion de séquence GIT, comme un raffinement du diagramme de stabilité de Broucke [Br69], via la notion de signature B. La séquence GIT se compose d'une séquence de trois espaces et de cartes entre eux dont la topologie code la stabilité et les bifurcations des orbites périodiques, ainsi que leurs configurations de valeurs propres, et constitue des obstacles à l'existence d'un cylindre régulier d'orbites. En faibles dimensions, les espaces peuvent être visualisés dans le plan ou dans un espace tridimensionnel, ce qui les rend propices au travail numérique. Il convient de noter que si la séquence GIT est conçue pour étudier la stabilité linéaire, elle brouille sa distinction avec la stabilité spectrale.

En effet, rappelons que le théorème de Krein-Moser donne un critère pour déterminer quand une biurcation de Kerin peut se produire (c'est-à-dire que deux valeurs propres elliptiques de la matrice de monodromie se réunissent puis bifurquent hors du cercle). Notre raffinement donne un critère similaire pour la situation où deux valeurs propres hyperboliques se rejoignent à une valeur propre hyperbolique de multiplicité deux et deviennent alors complexes, mais pour le cas d'orbites symétriques. Nous appelons une telle transition une transition HN, et la valeur propre de haute multiplicité, la valeur propre de transit. La possibilité ou non d’une telle transition est entièrement déterminée par la signature B de la valeur propre du transit. À savoir, le résultat suivant est une conséquence de notre étude topologique du groupe symplectique.

Théorème A. Considérons un hamiltonien à degrés de liberté arbitraires, admettant une symétrie. Soit t 7→ γt , t ∈ [0, 1], une famille d'orbites périodiques symétriques, subissant une transition HN -. Alors la signature B de la valeur propre du transit est indéfinie.

La définition de la signature B sera donnée dans la section 3, et la preuve de ce théorème est obtenue en annexe A.

Remerciements . Les auteurs remercient Urs Frauenfelder, dont les idées ont inspiré cet article. A. Moreno est actuellement soutenu par le Sonderforschungsbereich TRR 191 Symplectic Structures in Geometry, Algebra and Dynamics, financé par le DFG (Projektnummer 281071066 – TRR 191), ainsi que par le DFG dans le cadre de la stratégie d'excellence allemande EXC 2181/1 - 390900948 (le Heidelberg Pôle d'Excellence STRUCTURES).