Combinatoire de la stabilité linéaire pour les systèmes hamiltoniens en dimension arbitraire : préliminaires

Tableau des liens

• Abstrait
• Introduction
• Préliminaires
• La signature B
• Séquence GIT : faibles dimensions
• Séquence GIT : dimension arbitraire
• Annexe A. Stabilité, théorème de Krein-Moser, affinements et références

2. Préliminaires

Afin de rappeler la définition de la séquence GIT, nous avons besoin de la notion suivante.

Définition 2.1 (quotient GIT). Soit G un groupe agissant sur un espace topologique X par des homéomorphismes. Le quotient GIT est l'espace quotient X//G défini par la relation d'équivalence x ∼ y si les fermetures des orbites G de x et y se croisent, doté de la topologie du quotient.

En particulier, la moitié de l'orbite périodique symétrique est une corde hamiltonienne (c'est-à-dire une trajectoire) de Fix(ρ) à elle-même. Par conséquent, nous pouvons penser à une orbite périodique symétrique de deux manières, soit comme une chaîne fermée, soit comme une chaîne ouverte du Lagrangien Fix(ρ) à elle-même.

La matrice de monodromie d'une orbite symétrique en un point symétrique est une matrice de Wonenburger, c'est-à-dire qu'elle satisfait

où

équations qui garantissent que M est symplectique. Les valeurs propres de M sont déterminées par celles du premier bloc A (voir [FM]) :

Théorème 1 (Wonenburger). Toute matrice symplectique M ∈ Sp(2n) est symplectiquement conjuguée à une matrice de Wonenburger.

En d’autres termes, la carte naturelle

est surjectif.

En présence d'une orbite périodique symétrique, le fait algébrique ci-dessus a une interprétation géométrique : la matrice de monodromie en chaque point de l'orbite (une matrice symplectique) est symplectiquement conjuguée via le flux linéarisé à la matrice de monodromie en n'importe lequel des points symétriques de l'orbite (une matrice de Wonenburger).