Annexe A. Stabilité, théorème de Krein-Moser, affinements et références

Tableau des liens

• Abstrait
• Introduction
• Préliminaires
• La signature B
• Séquence GIT : faibles dimensions
• Séquence GIT : dimension arbitraire
• Annexe A. Stabilité, théorème de Krein-Moser, affinements et références

Annexe A. Stabilité, théorème de Krein-Moser et affinements

Nous expliquons maintenant comment la séquence GIT code topologiquement la stabilité (linéaire) des orbites périodiques et la comparons aux notions de base de la théorie de Kerin et du théorème de stabilité de Krein-Moser. Nous expliquerons également comment obtenir le théorème A.

Nous suivons l'exposé du livre d'Ekeland [Eke90] (voir aussi [Ab01]). Considérons une ODE symplectique linéaire

On peut montrer que l’ODE x˙ = JA(t)x est (fortement) stable si et seulement si R(T) est (fortement) stable [Eke90]. De plus, la stabilité équivaut à ce que R(T) soit diagonalisable (c'est-à-dire que toutes les valeurs propres sont semi-simples), avec son spectre se situant dans le cercle unité [Eke90].

Considérons maintenant une paire elliptique {λ, λ} de valeurs propres d'une matrice symplectique R. Alors toute autre matrice symplectique proche de R aura également des valeurs propres simples dans le cercle unité différentes de ±1 (sinon une valeur propre devrait bifurquer en deux , car chaque valeur propre se présente sous forme de quadruples, ce qui n'est pas possible si les espaces propres sont unidimensionnels). Donc dans cette situation, R est fortement stable. Le cas des valeurs propres de multiplicité plus élevée est traité via la théorie de Kerin. Chaque fois que deux valeurs propres elliptiques se rencontrent, cela donne un critère indiquant quand elles ne peuvent pas échapper au cercle et passer à un quadruple complexe. Cela fonctionne comme suit.

si x, y sont les vecteurs propres correspondants. De plus, si l’on considère les espaces propres généralisés

Définition A.2. (Krein-positivité/négativité) Si λ est une valeur propre de la matrice symplectique R avec |λ| = 1, alors la signature (p, q) de Gλ est appelée signature de type Krein ou Kerin de λ. Si q = 0, c'est-à-dire que Gλ est défini positif, λ est dit Krein-positif. Si p = 0, c'est-à-dire que Gλ est défini négatif, λ est dit Krein-négatif. Si λ est Krein-négatif ou Krein-positif, nous disons qu'il est Krein-défini. Sinon, on dit que c'est Krein-indéfini.

Si λ est de type Krein (p, q), alors λ est de type Krein (q, p) [Eke90]. Si λ satisfait |λ| = 1 et ce n’est pas semi-simple, alors il est facile de montrer que c’est Krein-indéfini [Eke90]. De plus, ±1 sont toujours Krein-indéfinis s'ils sont des valeurs propres, car ils ont des vecteurs propres réels x, qui sont donc G-isotropes, c'est-à-dire G(x, x) = 0. Ce qui suit, prouvé à l'origine par Kerin dans [Kre1; Kre2 ; Kre3 ; Kre4] et redécouvert indépendamment par Moser dans [M78], donne une caractérisation d'une forte stabilité en termes de théorie de Kerin :

Théorème 3 (Krein – Moser). R est fortement stable si et seulement s'il est stable et que toutes ses valeurs propres sont définies par Krein.

Voir [ Eke90 ] pour une preuve. Notez que cela généralise le cas où toutes les valeurs propres sont simples, différentes de ±1 et dans le cercle unité, comme discuté ci-dessus. Maintenant, la manière dont la séquence GIT est liée à la théorie de Kerin est la suivante.

Proposition A.1 ([FM]). Pour une matrice de Wonenburger, la signature Kerin coïncide avec la signature B, pour les valeurs propres elliptiques.

Exemple A.3. A titre d'exemple simple, pour illustrer la proposition A.1, considérons les matrices de Wonenburger

En corollaire du théorème de Krein-Moser et de la proposition A.1, on obtient ce qui suit.

Théorème 4. Soit R une matrice de Wonenburger. Alors R est fortement stable si et seulement s'il est stable et que toutes ses valeurs propres sont B-définies.

Dans des dimensions supérieures, le fait qu'une valeur propre elliptique ou hyperbolique à haute multiplicité donnée d'une matrice de Wonenburger puisse ou non être perturbée pour être un quadruple complexe est déterminé par le fait que sa signature B soit définie ou non ; voir par exemple la figure 9 et la remarque 5.2. Cela donne une preuve topologique du théorème de Krein-Moser dans toutes les dimensions, et le généralise en fait pour le cas hyperbolique, dans le cas des matrices de Wonenburger, prouvant le théorème A dans l'introduction.

Les références

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[HM87] Howard, JE; MacKay, RS Calcul des limites de stabilité linéaire pour les équilibres des systèmes hamiltoniens. Phys. Lett. A 122 (1987), non. 6-7, 331-334.

Kre1] Krein, M. : Généralisation de certaines recherches de AM Liapunov sur les équations différentielles linéaires à coefficients périodiques. Doklady Akad. Nauk URSS 73 (1950) 445-448.

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[Kre3] Krein, M. : Sur la théorie des fonctions matricielles entières de type exponentiel. Mathématiques ukrainiennes. Journal 3 (1951) 164-173.

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(A. Moreno) Universität Heidelberg, Mathematisches Institut, Heidelberg, Allemagne Adresse e-mail : [email protected]

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