Combinatoria de estabilidad lineal para sistemas hamiltonianos en dimensión arbitraria: Introducción

Tabla de enlaces

• Abstracto
• Introducción
• Preliminares
• La firma B
• Secuencia GIT: dimensiones bajas
• Secuencia GIT: dimensión arbitraria
• Apéndice A. Estabilidad, teorema de Krein-Moser y refinamientos y referencias

1. Introducción

La estabilidad de las órbitas periódicas es un tema central en el estudio de los sistemas hamiltonianos, remontándose al problema de la estabilidad del sistema solar en la mecánica celeste. La noción de estabilidad, omnipresente en el estudio de las EDO, surge siempre que se estudian órbitas en familias y sus bifurcaciones, una práctica que entraña interés tanto teórico como práctico. Por ejemplo, desde la perspectiva del diseño de una misión espacial, las órbitas utilizadas para estacionar una nave espacial alrededor de la Luna objetivo deben ser lo más estables posible, a fin de minimizar las correcciones de combustible y el mantenimiento de la posición. Desde un punto de vista matemático, las nociones clave de estabilidad de un sistema se presentan en tres variantes, relacionadas por las siguientes implicaciones:

Estabilidad no lineal (Lyapunov) ⇒ estabilidad lineal ⇒ estabilidad espectral.

La estabilidad no lineal, en términos generales, significa que las trayectorias que comienzan cerca de una órbita periódica determinada permanecen cerca de la órbita todo el tiempo. La estabilidad lineal corresponde a la estabilidad del origen de la dinámica linealizada, es decir, las órbitas del sistema linealizado deben permanecer limitadas. Para un sistema hamiltoniano, esto significa que los valores propios de la matriz monodromía de la órbita correspondiente deben estar en el círculo unitario y ser semisimples. La estabilidad espectral, por otro lado, requiere que todos los valores propios se encuentren en el círculo unitario, pero les permite tener multiplicidad (de modo que las órbitas puedan escapar al infinito en tiempo polinomial, en lugar de exponencial). En este artículo, nos centraremos en la noción de estabilidad lineal .

En presencia de simetría, el estudio de la estabilidad lineal de las órbitas periódicas preservadas por la simetría puede perfeccionarse significativamente. Con este fin en mente, el primer autor y Urs Frauenfelder introdujeron en [FM] la noción de secuencia GIT, como un refinamiento del diagrama de estabilidad de Broucke [Br69], a través de la noción de firma B. La secuencia GIT consta de una secuencia de tres espacios y mapas entre ellos cuya topología codifica la estabilidad y bifurcaciones de órbitas periódicas, así como sus configuraciones de valores propios, y proporciona obstrucciones a la existencia de cilindros regulares de órbitas. En dimensiones bajas, los espacios se pueden visualizar en el plano o en el espacio tridimensional, lo que los hace susceptibles al trabajo numérico. Debemos señalar que si bien la secuencia GIT está diseñada para estudiar la estabilidad lineal, desdibuja su distinción con la estabilidad espectral.

De hecho, recordemos que el teorema de Krein-Moser da un criterio para determinar cuándo puede ocurrir una biurcación de Kerin (es decir, dos valores propios elípticos de la matriz de monodromía se unen y luego se bifurcan fuera del círculo). Nuestro refinamiento proporciona un criterio similar para la situación en la que dos valores propios hiperbólicos se juntan en un valor propio hiperbólico de multiplicidad dos y luego se vuelven complejos, pero para el caso de órbitas simétricas. A esta transición la llamamos transición HN y el valor propio de alta multiplicidad, el valor propio de tránsito. Si tal transición puede ocurrir o no está completamente determinado por la firma B del valor propio de tránsito. Es decir, el siguiente resultado es consecuencia de nuestro estudio topológico del grupo simpléctico.

Teorema A. Considere un hamiltoniano con grados de libertad arbitrarios, admitiendo una simetría. Sea t 7→ γt , t ∈ [0, 1], una familia de órbitas periódicas simétricas, sometidas a una transición HN. Entonces la firma B del valor propio de tránsito es indefinida.

La definición de firma B se dará en la Sección 3 y la prueba de este teorema se obtiene en el Apéndice A.

Agradecimientos . Los autores agradecen a Urs Frauenfelder, cuyas ideas inspiraron este artículo. A. Moreno cuenta actualmente con el apoyo del Sonderforschungsbereich TRR 191 Estructuras Simplécticas en Geometría, Álgebra y Dinámica, financiado por la DFG (Projektnummer 281071066 – TRR 191), y también por la DFG bajo la Estrategia de Excelencia de Alemania EXC 2181/1 - 390900948 (la Heidelberg ESTRUCTURAS Clúster de Excelencia).