Ampliaciones para esquemas de Hilbert: perspectiva de pila

Tabla de enlaces

• Resumen e introducción
• Antecedentes de la perspectiva tropical
• La construcción ampliada
• Estabilidad GIT
• Perspectiva de pila
• La pila de módulos canónicos
• Referencias

5. Perspectiva de la pila

5.1 Pilas y condiciones de estabilidad.

Antes de describir las degeneraciones expandidas como pilas, comentamos el papel de las pilas en este problema y las condiciones de estabilidad definidas en la Sección 5.3.

Cambio de bases . Nuestro objetivo es construir degeneraciones de esquemas de puntos de Hilbert como buenos espacios de módulos. En las pruebas de las Proposiciones 6.1.2 y 6.1.4, usaremos el criterio valorativo para demostrar la clausura universal y la separación. Veremos que este argumento sólo se aplica al cambio de base, por lo que es necesario que trabajemos con pilas en lugar de esquemas.

En las siguientes secciones, al estudiar pilas de cocientes, por lo tanto, querremos considerar el sublocus del locus estable GIT que contiene solo subesquemas de dimensión cero de longitud m que se soportan suavemente en una fibra dada de X[n]. Construir una compactificación en la que los límites estén representados por subesquemas suavemente soportados también será útil para aplicaciones futuras, ya que nos permite descomponer el problema de un esquema de Hilbert de m puntos en una superficie singular en productos de esquemas de Hilbert de menos de m puntos en componentes lisos.

Definición 5.1.1. Decimos que una fibra en alguna degeneración expandida X[n] tiene codimensión base k si exactamente k direcciones base desaparecen en esta fibra. Esto es independiente del valor n.

Hacer que las degeneraciones expandidas sean lo suficientemente grandes. Finalmente, si construimos un cociente GIT único en el que no todos los subesquemas límite se soportan suavemente, entonces los límites dados por los cierres de órbita que contienen solo subesquemas con soporte singular no estarán en una fibra de la codimensión base esperada. Esto da la intuición de que la degeneración que hemos elegido es demasiado pequeña. Dicho esto, puede ser útil pensar en este cociente GIT si lo que intentamos hacer es simplemente resolver singularidades de una manera que preserve algunas buenas propiedades del espacio, por ejemplo, en el contexto de la construcción de modelos mínimos para degeneraciones de tipo III. de esquemas de puntos de Hilbert en superficies K3.

5.2 Construcción ampliada para pilas.

5.3 Condiciones de estabilidad.

Observamos que dado que el lugar geométrico liso de las fibras de X[n] es invariante G, restringir el funtor a este lugar preserva la invariancia G. Por lo tanto, las restricciones de los loci semiestables y estables a los loci de subesquemas suavemente soportados producen subesquemas abiertos G-invariantes.

Contamos con las siguientes inclusiones:

Estabilidad de Li-Wu. Recordamos aquí la noción de estabilidad utilizada en [LW15], para compararla con la estabilidad GIT y construir una condición de estabilidad apropiada para este caso.

Estabilidad GIT modificada. Como se indicó anteriormente, solo queremos permitir que los subesquemas de dimensión cero de longitud m sean estables si su soporte se encuentra en el lugar liso de una fibra. Sin embargo, restringir la condición de estabilidad del GIT a este locus hace que el espacio de los subesquemas estables ya no esté universalmente cerrado. De hecho, no existe una única condición GIT que pueda representar todos los subesquemas de dimensión cero de longitud m deseada como subesquemas soportados sin problemas. Por lo tanto, debemos definir una condición de estabilidad GIT modificada que combine varias condiciones de estabilidad GIT para obtener el locus estable deseado.