Erweiterungen für Hilbert-Schemata: der kanonische Modulstapel

Linktabelle

• Zusammenfassung und Einleitung
• Hintergrund zur tropischen Perspektive
• Der erweiterte Bau
• GIT-Stabilität
• Stapelperspektive
• Der kanonische Modulstapel
• Verweise

6. Der kanonische Modulstapel

6.1 Properness und Deligne-Mumford-Eigenschaft

Existenz und Eindeutigkeit von Grenzwerten für spezielle Objekte. Wir müssen einige Definitionen festlegen, bevor wir das folgende Hilfsresultat zur Existenz und Eindeutigkeit von Grenzwerten für spezielle Elemente beweisen, nämlich wenn die Faser Xη über dem generischen Punkt von S selbst eine modifizierte spezielle Faser ist.

Wir beginnen damit, die Existenz und Eindeutigkeit von Grenzwerten im ersten Fall unter Verwendung des Bewertungskriteriums zu beweisen. V bezeichne die irreduzible Komponente von Xη, in deren Inneren P liegt. Beachten Sie, dass, da P zu einer Kodimension tendiert, die größer oder gleich einer Schicht von X ist, es notwendig sein wird, mindestens eine ∆-Komponente in dieser Erweiterung auszudehnen, damit sein Grenzwert in einer Erweiterung von (Zη, Xη) glatt unterstützt wird. Es gibt eine Glättung vom Inneren von V in der Faser über den generischen Punkt zum Inneren dieser ausgeweiteten ∆-Komponente in einer solchen Erweiterung von (Zη, Xη), genau dann, wenn diese ∆-Komponente gleich V in der Faser über den generischen Punkt ist. Wenn es darüber hinaus keine solche ∆-Komponente gleich V gibt, kann keine der x-, y- oder z-Koordinaten gegen Null tendieren (weil beide Seiten der definierenden Gleichungen gegen Null tendieren müssen).

Deligne-Mumford-Eigenschaft. Schließlich zeigen wir, dass beide konstruierten Stapel stabiler Objekte endliche Automorphismen aufweisen.

Beweis . Dies folgt direkt aus den Ergebnissen dieses Abschnitts.

6.2 Ein Isomorphismus von Stapeln

Wir benötigen außerdem das folgende Ergebnis von Alper und Kresch [AK16].

Nun sind wir in der Lage, den folgenden Satz zu beweisen: