GIT ক্রম: নির্বিচারে মাত্রা

লিঙ্কের টেবিল

• বিমূর্ত
• ভূমিকা
• প্রাথমিক
• বি-স্বাক্ষর
• GIT ক্রম: নিম্ন মাত্রা
• GIT ক্রম: নির্বিচারে মাত্রা
• পরিশিষ্ট A. স্থিতিশীলতা, ক্রেইন-মোজার উপপাদ্য, এবং পরিমার্জন এবং উল্লেখ

5. GIT ক্রম: নির্বিচারে মাত্রা

এই উপাদানগুলির মধ্যে, একটি বিশেষ উপাদান রয়েছে, স্থিতিশীল উপাদান, যা স্থিতিশীল পর্যায়ক্রমিক কক্ষপথের সাথে মিলে যায়। আমরা দেখাব যে এর সংমিশ্রণগুলি সহযোগীর একটি ভাগফল দ্বারা নিয়ন্ত্রিত হয়।

5.1। কিছু বাস্তব বীজগণিত জ্যামিতি। বাস্তব সহগ এবং ডিগ্রী n, অর্থাৎ ফর্মের সাথে monic বহুপদীর স্থান বিবেচনা করুন

মনে রাখবেন যে বহুপদীর বৈষম্যকে অভিব্যক্তি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে

উদাহরণ 5.1। ক্ষেত্রে n = 3, প্রতিটি বহুপদ

y = x − b/3 ভেরিয়েবলের পরিবর্তনের মাধ্যমে রূপান্তরিত হতে পারে কোন ডিগ্রি 2 টার্ম ছাড়া বহুপদীতে (একটি অবনমিত ঘনক বহুপদী), অর্থাৎ ফর্মের

মন্তব্য 5.2। উল্লেখ্য যে যদি বর্ণালীতে জটিল চতুর্গুণ থাকে, তাহলে Bblock-এ সর্বদা ফর্ম ডায়াগের (1, −1) অন্তত একটি সমন্ড থাকে। বাইলিনিয়ার ফর্ম হিসাবে দেখা হয়, এই ম্যাট্রিক্সে সবসময় মিশ্র স্বাক্ষর থাকে। যেহেতু স্বাক্ষরগুলি নন-ডিজেনারেট বাইলিনিয়ার ফর্মগুলির স্পেসে ক্রমাগত আচরণ করে, এটি বোঝায় যে সংশ্লিষ্ট চতুর্গুণটি নির্দিষ্ট স্বাক্ষরের একটি হাইপারবোলিক বা উপবৃত্তাকার জোড়ার সাথে সংযুক্ত হতে পারে না, বাকি eigenvalueগুলিকে ঠিক করার সময়। এটি হল প্রধান পর্যবেক্ষণ যা বোঝায় Krein– Moser theorem, cf. পরিশিষ্ট A. এটি প্রতিসম কক্ষপথের (থিওরেম A) জন্য এর পরিমার্জনকেও বোঝায়।

অনিয়মিত মামলা। অনিয়মিত মামলাগুলি একইভাবে মোকাবেলা করা যেতে পারে, যদিও সংমিশ্রণগুলি আরও জড়িত থাকে। প্রকৃতপক্ষে, অনুমান করুন যে A-এর আসল eigenvalues আছে

যেখানে আমরা ±1 কে একটি eigenvalue এবং জটিল eigenvalue হিসাবে অনুমোদন করি

আমরা দ্বারা বহুগুণ নির্দেশ করি

সহযোগী. স্থিতিশীল অঞ্চলের সীমানা সংমিশ্রণ বিকল্পভাবে নিম্নরূপ এনকোড করা যেতে পারে। আমরা সহজ eigenvalues সনাক্ত

ইঙ্গিত দেয় যে νj এবং νj+1 গুলি একত্রিত হয়ে একটি গুণিতক দুইটি eigenvalueতে পরিণত হয়, এবং তাই দ্বারা প্রদত্ত গুণের সংকোচনের সাথে মিলে যায়

(1, ... , 1) 7→ (1, . . . , 2, . . . , 1)।

একইভাবে, আরও একটি বন্ধনী

−1ν1। . . νj−1{νj , νj+1}। . . νl1 7→ −1ν1। . . {νj−1, νj, νj+1}। . . νl1

ইঙ্গিত করে যে ইজেনভ্যালু νj−1 পূর্ববর্তী গুনগত দুই ইজেন মানের সাথে একত্রিত হয়েছে একটি গুণিতিক তিন ইজেনভ্যালুতে, এবং তাই সংকোচনের সাথে মিলে যায়

(1, . . , 1, 2, . . , 1) 7→ (1, . . . , 3, . . , 1)।

এই নির্মাণ সুস্পষ্ট উপায়ে পুনরাবৃত্তি. এখানে আমরা eigenvalue গুলিকে ±1 এর সাথে একত্রিত হওয়ার অনুমতি দিই, যেমন {−1, ν1}ν2{ν3, ν4, 1} একটি বৈধ রাশি। মনে রাখবেন যে বন্ধনীর উপাদানগুলির ক্রম অপ্রাসঙ্গিক তা বোঝাতে আমরা বন্ধনী স্বরলিপি ব্যবহার করি। এই নির্মাণের পুনরাবৃত্তির ফলে স্ট্রিংগুলির একটি ভঙ্গি হয় (যেটিতে সমস্ত খোলা বন্ধনী একটি অনুরূপ বন্ধের সাথে থাকে এবং কোনও নেস্টেড বন্ধনী থাকে না), এবং যেখানে দুটি স্ট্রিং a, b একটি ≤ b সন্তুষ্ট করে যদি b এর একটি ক্রম দ্বারা প্রাপ্ত হয় একটি থেকে বন্ধনী অপারেশন. এই পোসেটটি তখন নির্মাণের মাধ্যমে স্থিতিশীল অঞ্চলের সীমানা সংমিশ্রণকে এনকোড করে।

এখন, উপরের বন্ধনী অপারেশন নেওয়ার অপারেশনের সাথে নিবিড়ভাবে সম্পর্কিত

এবং তাদের পুনরাবৃত্তি, একইভাবে উপরের হিসাবে, যেমন

এবং তাই, যেখানে এখন একটি বৈধ অভিব্যক্তি উদাহরণস্বরূপ ((−1ν1)ν2)ν3(ν41)। বন্ধনীটি তখন একটি অভিব্যক্তিতে সমস্ত অভ্যন্তরীণ বন্ধনী অপসারণের ফলাফল, অর্থাৎ প্রতীকীভাবে (. .(.. ..) ..) 7→ (... .) এর মাধ্যমে এবং সংশ্লিষ্ট স্থানচ্যুতি গোষ্ঠীর ক্রিয়া দ্বারা পরিবর্তন করার ফলাফল। (অর্থাৎ বন্ধনীর ভিতরের উপাদানের সংখ্যার উপর কাজ করে), প্রতীকীভাবে এর মাধ্যমে

উদাহরণস্বরূপ, উপরের অভিব্যক্তিটি হয়ে যায় {−1, ν1, ν2}ν3{ν4, 1}, যেখানে এখন বন্ধনীর ভিতরের উপাদানগুলির ক্রম অপ্রাসঙ্গিক।

কিন্তু বন্ধনী সহ অভিব্যক্তির সংমিশ্রণ একটি অতি পরিচিত পলিটোপ দ্বারা নিয়ন্ত্রিত হয়, যাকে অ্যাসোসিয়েড্রন বলা হয়। এটি হল (m − 2)-মাত্রিক উত্তল পলিটোপ K m যেখানে প্রতিটি শীর্ষবিন্দু m অক্ষরের একটি স্ট্রিংয়ে খোলা এবং বন্ধ বন্ধনীকে সঠিকভাবে সন্নিবেশ করার একটি উপায়ের সাথে মিলে যায় (অর্থাৎ এটি অনন্যভাবে পণ্যের ক্রিয়াকলাপের ক্রম নির্ধারণ করে), এবং প্রান্তগুলি সহযোগীতা নিয়মের একক প্রয়োগের সাথে মিলে যায়। এটিকে একটি পোজেট হিসাবেও দেখা যেতে পারে, যখন তীরটি নির্দেশ করে যে বন্ধনীগুলি ডানদিকে সরানো হয়েছে (এটি তামারি জালি)। তাছাড়া, এক প্রান্ত লেবেল করতে পারেন

অ্যাসোসিয়েড্রন থেকে স্থিতিশীল অঞ্চল প্রাপ্ত করার জন্য, আমরা লক্ষ্য করি যে পরবর্তীতে অনেক লেবেল প্রকৃতপক্ষে সমতুল্য হয় যখন বন্ধনী স্বরলিপি দিয়ে লেখা হয়। আমরা তারপর উপসংহার:

অন্য কথায়, স্থিতিশীল অঞ্চলটি অ্যাসোসিয়েড্রনের একটি ভাগফলের জন্য হোমোমরফিক, যেখানে আমরা সেই স্তরগুলিকে চিহ্নিত করি যাদের লেবেল বন্ধনীর স্বরলিপিতে লেখা হলে সমতুল্য হয়ে যায়। নিম্ন মাত্রিক ক্ষেত্রে (n = 1, 2, 3) চিত্র 6 এবং 7 এ চিত্রিত করা হয়েছে।